各类未定式求极限处理方法(主要针对考研数学)
不管是在高中还是大学,未定式求极限总是常考内容。特别是考研基本都是必考。本篇是各类未定式的求极限的方法总结。部分内容为大学高数内容,但是大部分内容同样适合高中。
操作方法
(01)未定式处理遵循先定型后定法原则。现在我们在这里先将未定式分为4大类型(定型):1.基本型 即0/0型(零比零型),∞/∞型(无穷比无穷型)。2.无穷乘零型 即∞x0型。3.幂指函数型。4.无穷减无穷型 即∞-∞型。
(02)基本型:直接用洛必达法则,过程中注意每一步都要判断是否还保持基本型。同时过程中要“四化”(“四化”详见注意事项)。洛必达法则,即为对分子分母分别求导数。
(03)无穷乘零型(∞x0):先“下放”再用洛必达就是将∞x0,中的一项变换到分母位置。变换后为0/(1/∞)或者外∞/(1/0),这样实际上就变成了0/0型和∞/∞,这就成了基本型了。之后的步奏就用基本型的方法做。
(04)幂指函数型(1的∞次方,∞的0次方,0的0次方):先指数对数化,之后其幂必定变为了∞x0型,然后幂的极限求法就依照类型2(即无穷乘零型)操作。此处说明指数对数化,上面三种幂指函数指数对数化后为,e的(∞xln 1)次方,e的(0 x ln ∞)次方,e的(0 x ln 0)次方。他们都指数都实际上都分别变成了∞ x 0,0 x ∞,0 x -∞。这就可以按照类型2处理了。
(05)无穷减无穷型(∞-∞):此类型还细分外三种情况。1.分式差,方法就是通分,之后它局变为了基本型,就参照基本型处理,直接洛必达。2.根式差,看成是分母为1的分式,然后将分子有理化,之后它也变成了基本型3.既非分式也非根式,此类型较为复杂,一般可令x=1/t,这样就出现了分式。就可按前两种情况处理。
(06)终极方法(通法):将分式中的上下部分度化成迈克劳林式子。此方法一般问题都能解决但是较为麻烦,在没有其他思路的情况下考虑此法。
特别提示
“四化”:1,.无穷小因子等价化(此为大学内容,注意等价化条件只能是在整体的分子或分母)
2.幂指函数指数对数化。
3.无理式有理化。
4.非“0”极限因子淡化,就是把它算出来搁在一边暂不理它
每用一次洛必达后都要检查式子的类型,有些时候洛必达一次后式子已经不再是基本型了,不能连续用洛必达。
蛮干不能蛮断:不要一看洛必达后的式子极限不存在就认为极限不存在,因为你可能用错了。
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