微分的几何意义详解
这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释,并配以一些例题,大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题,难度适中,其中包含一些考研数学中的经典题目。本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导,高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。既然是入门,就要舍去一些难度较大或不适合初学者的内容(例如用ε-δ语言证明极限,以及教材中多数定理的证明),有些较深入的问题(例如无穷大与无界的区别和联系,导函数的特性,拉格朗日中值定理的证明思路等)我们会以专题文章的形式给出,供有兴趣的读者选读。
操作方法
(01)微分表达式与切线方程的联系。
(02)微分的几何意义。
(03)从无穷小量的角度理解微分。
(04)微分在近似计算中的应用举例。在近似计算时,我们可以用“线性增量”dy来近似代替“非线性增量” Δy。
(05)一个考研题目。下面我们来分析一道考查微分几何意义的考研题(2006年数一第7小题),虽说本题用函数的凹凸性来解决更方便,但只要知道“导函数在某区间上>0则函数单增”这一“高中知识”,就可完成本题的解答(且更能体现导数的意义),题目如下:
(06)分析函数的大致图像。解答本题的关键在于确定f(x)的大致图像,我们按下述步骤来分析:
(07)题目的解答。
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