怎么认识三角形内切圆圆心
关于三角形的内心,有一些有趣的性质,可以极大的减少几何问题的计算量。
操作方法
(01)△ABC的内心为I,内切圆与三边切于D、E、F,那么:AE=AF,BD=BF,CD=CE
(02)设三角形的三边程度分别是a、b、c,那么:BD=BF=(a+c-b)/2
(03)线段的比例:BD:CD=(a+c-b):(a+b-c)=cot(B/2):cot(C/2)进而,得到一个三角恒等式:(sinA+sinC-sinB):(sinA+sinB-sinC)=cot(B/2):cot(C/2)
(04)设P是BC的中点,D关于P的对称点是D1,那么:AB+BD1=AC+CD1也就是说,AD1平分△ABC的周长。
(05)设Q是BA中点,R是AB中点;用上面的方法,同样可以构造出△ABC的周长平分线BE1和CF1。
(06)三角形的三条周长平分线共点,这个点称为△ABC的界心,标记为J。
(07)设G为△ABC的重心,那么,I、G、J三点共线,且JG=2*IG。
(08)由此可知,△ABC和△PQR关于G透视对应,对应关系是:A、B、C对应P、Q、R,I对应J,直线AJ对应直线PI。所以,直线PI是△PQR的周长平分线。
(09)设PI与QR交于T,那么:A、T、D共线。
(10)S(BCI):S(CAI):S(ABI)=a:b:c=sinA:sinB:sinC这样可以求出I相对于△ABC的重心坐标是(sinA:sinB:sinC)。
直角三角形的内心
(01)△BAC中,AK⊥BC于K,I、M、N分别是△ABC、ABK、ACK的内心,ID⊥BC于D,AK交PQ于T。求证:四边形DNTM是正方形。
(02)设△ABC的三边长分别是a、b、c,那么,容易算出:BM:MQ=PN:NC=PT:TQ=(a*c+c^2):(a*b+b^2)
(03)BD:DC=(a+c-b):(a+b-c)要证明DNTM是正方形,可以先间接证明:DN//MT//BPDM//NT//CQ这就需要证明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)因为a^2=b^2+c^2,所以容易证明上式成立。
(04)再证明DM=DN。因为DM=BD*CQ/BC,DN=CD*BP/BC,所以,转而证明:BD:BP=CD:CQ而这一点是比较容易的了。
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