微分的幾何意義詳解
這個系列文章講解高等數學的基礎內容,注重學習方法的培養,對初學者不易理解的問題往往會不惜筆墨加以解釋,並配以一些例題,大多為紮實基礎的常規性題目和幫助加深理解的概念辨析題,難度適中,其中包含一些考研數學中的經典題目。本系列文章適合作為初學高等數學的課堂同步輔導,高數期末複習以及考研第一輪複習時的參考資料。既然是入門,就要捨去一些難度較大或不適合初學者的內容(例如用ε-δ語言證明極限,以及教材中多數定理的證明),有些較深入的問題(例如無窮大與無界的區別和聯繫,導函數的特性,拉格朗日中值定理的證明思路等)我們會以專題文章的形式給出,供有興趣的讀者選讀。
操作方法
(01)微分表達式與切線方程的聯繫。
(02)微分的幾何意義。
(03)從無窮小量的角度理解微分。
(04)微分在近似計算中的應用舉例。在近似計算時,我們可以用“線性增量”dy來近似代替“非線性增量” Δy。
(05)一個考研題目。下面我們來分析一道考查微分幾何意義的考研題(2006年數一第7小題),雖説本題用函數的凹凸性來解決更方便,但只要知道“導函數在某區間上>0則函數單增”這一“高中知識”,就可完成本題的解答(且更能體現導數的意義),題目如下:
(06)分析函數的大致圖像。解答本題的關鍵在於確定f(x)的大致圖像,我們按下述步驟來分析:
(07)題目的解答。
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