怎麼認識三角形內切圓圓心
關於三角形的內心,有一些有趣的性質,可以極大的減少幾何問題的計算量。
操作方法
(01)△ABC的內心為I,內切圓與三邊切於D、E、F,那麼:AE=AF,BD=BF,CD=CE
(02)設三角形的三邊程度分別是a、b、c,那麼:BD=BF=(a+c-b)/2
(03)線段的比例:BD:CD=(a+c-b):(a+b-c)=cot(B/2):cot(C/2)進而,得到一個三角恆等式:(sinA+sinC-sinB):(sinA+sinB-sinC)=cot(B/2):cot(C/2)
(04)設P是BC的中點,D關於P的對稱點是D1,那麼:AB+BD1=AC+CD1也就是説,AD1平分△ABC的周長。
(05)設Q是BA中點,R是AB中點;用上面的方法,同樣可以構造出△ABC的周長平分線BE1和CF1。
(06)三角形的三條周長平分線共點,這個點稱為△ABC的界心,標記為J。
(07)設G為△ABC的重心,那麼,I、G、J三點共線,且JG=2*IG。
(08)由此可知,△ABC和△PQR關於G透視對應,對應關係是:A、B、C對應P、Q、R,I對應J,直線AJ對應直線PI。所以,直線PI是△PQR的周長平分線。
(09)設PI與QR交於T,那麼:A、T、D共線。
(10)S(BCI):S(CAI):S(ABI)=a:b:c=sinA:sinB:sinC這樣可以求出I相對於△ABC的重心座標是(sinA:sinB:sinC)。
直角三角形的內心
(01)△BAC中,AK⊥BC於K,I、M、N分別是△ABC、ABK、ACK的內心,ID⊥BC於D,AK交PQ於T。求證:四邊形DNTM是正方形。
(02)設△ABC的三邊長分別是a、b、c,那麼,容易算出:BM:MQ=PN:NC=PT:TQ=(a*c+c^2):(a*b+b^2)
(03)BD:DC=(a+c-b):(a+b-c)要證明DNTM是正方形,可以先間接證明:DN//MT//BPDM//NT//CQ這就需要證明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)因為a^2=b^2+c^2,所以容易證明上式成立。
(04)再證明DM=DN。因為DM=BD*CQ/BC,DN=CD*BP/BC,所以,轉而證明:BD:BP=CD:CQ而這一點是比較容易的了。
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