巧用极坐标变换求二元函数的极限
对于一些复杂的二元函数,我们没法通过邻域变形式来巧妙的处理极限问题,这里给大家介绍用极坐标变换的方法来化解这种尴尬,除此以外还会有其他的方法,这里的极坐标变换的法子很适合求趋于原点时的极限,以下会给大家举一个例子,希望对你有所帮助。
操作方法
01题干给出的函数是分情况的,原点处的表达式为常数0,非原点处的函数表达式很复杂,如图,要求我们验证原点处的极限是否为0?
02这里就运用了极坐标变换的方法了,可能大家在高中数学选修中已经接触到了极坐标的相关知识,这里令x,y分别为rcosθ,rsinθ。
03这里的参数r的几何意义就是改点到极点的距离,θ表示改点与极轴的夹角,那么原函数趋于(0,0)的条件在极坐标下就变为r→0了,正好这里的r也满足圆形邻域的表达式。
04用极坐标变化表示出原函数的关系式,中间能约分的约分,能合并的合并,需要用到三角函数的知识,最终化简如下。
05很显然sin函数是恒≦1的,那么就可以放缩到如下步骤
06最后根据二元函数极限的定义,来确定δ的取值,那么函数趋于原点的极限就是0了。
07【总结】
一般遇到比较复杂,又是求点(0,0)的极限可以采用极坐标变换的方法来简化问题,这道题目就很好的运用了。
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