罗尔定理证明题中构造辅助函数的基本方法
这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释,并配以一些例题,大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题,难度适中,其中包含一些考研数学中的经典题目。本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导,高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。既然是入门,就要舍去一些难度较大或不适合初学者的内容(例如用ε-δ语言证明极限,以及教材中多数定理的证明),有些较深入的问题(例如无穷大与无界的区别和联系,拉格朗日中值定理的证明思路等)我们会以专题文章的形式给出,供有兴趣的读者选读。
操作方法
(01)概述。罗尔定理虽是微分中值定理中最基础的一个,但其应用相当广泛,许多涉及中值定理的证明题都可以用罗尔定理解决。中值定理证明题的普遍难点在于辅助函数的构造。(甚至可以说这是唯一难点,如果告诉你用什么辅助函数,就差不多等于告诉你答案了。)辅助函数的构造法虽千差万别,但也不是毫无规律可循。“条件变形”和“原函数法”是解罗尔定理证明题时两种构造辅助函数的常用方法,本节我们通过几个例题具体介绍。(“条件变形”能解决的题目通常比较容易,我们重点介绍“原函数法”。)
(02)用条件变形构造辅助函数的例题。
(03)“原函数法”的基本思路。
(04)利用原函数法构造辅助函数的例题。
(05)构造两个函数乘积形式的辅助函数。
(06)一个难度较大的考研题。下面例题是1995年数一考题,难度较大,我们着重谈谈解题思路,证明细节请读者自己补全。
(07)习题。
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