收斂和發散怎麼判斷?
收斂與發散判斷方法簡單來說就是有極限(極限不爲無窮)就是收斂,沒有極限(極限爲無窮)就是發散。
收斂與發散的判斷其實簡單來說就是看極限存不存在,當n無窮大時,判斷Xn是否是常數,是常數則收斂,加減的時候,把高階的無窮小直接捨去,乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來代。
判斷函數和數列是否收斂或者發散:
1、設數列{Xn},如果存在常數a,對於任意給定的正數q(無論多小),總存在正整數N,使得n>N時,恆有|Xn-a|
2、求數列的極限,如果數列項數n趨於無窮時,數列的極限能一直趨近於實數a,那麼這個數列就是收斂的﹔如果找不到實數a,這個數列就是發散的。看n趨向無窮大時,Xn是否趨向一個常數,可是有時Xn比較複雜,並不好觀察。這種是最常用的判別法是單調有界既收斂。
3、加減的時候,把高階的無窮小直接捨去如1+1/n,用1來代替乘除的時候,用比較簡單的等價無窮小來代替原來複雜的無窮小來如1/n*sin(1/n)用1/n^2來代替。
4、收斂數列的極限是唯一的,且該數列一定有界,還有保號性,與子數列的關係一致。不符合以上任何一個條件的數列是發散數列。另外還有達朗貝爾收斂準則,柯西收斂準則,根式判斂法等判斷收斂性。
收斂數列相互關係
收斂數列與其子數列間的關係
子數列也是收斂數列且極限爲a恆有|Xn|
若已知一個子數列發散,或有兩個子數列收斂於不同的極限值,可斷定原數列是發散的。
如果數列{Xn}收斂於a,那麼它的任一子數列也收斂於a。
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