线性方程租的解法(非齐次方程和齐次方程)
小编想以自己的来给大家讲讲常见的大学线代(线性方程的解法),分为非齐次方程组合齐次方程组两部分。
操作方法
(01)我们先了解什么是齐次和非齐次:类似于:a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,1x1+am2x2+n=bm,(数字均为下标)中,如果b1,b2,不全为0,则该方程组为非齐次方程,反之(全为0)为其次方程;
(02)1.判断方程有没有解:1)非齐次方程:充要条件:系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等;设系数矩阵的秩为rA,增广矩阵的秩为rB,x阶数为n则有rA=rB=n时,方程组有唯一的解,当rA=rB<n时,方程有无穷解。
(03)现在我们来详细讨论(要求读者自行掌握矩阵消元法):1)齐次方程解法:例如:(注意x后面的数字是角标)x1+x2-3x4-x5=0,x1-x2+2x3-x4=0,4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=0,2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=0我们先把系数提取出来记得x的角标对应着位置:x1+x2-3x4-x5=0提出后应该是:1 1 0(x3不存在,意味着系数为0) -3 -1同理得其他系数:A=1 1 0 -3 -11 -1 2 -1 04 -2 6 3 -42 4 -2 4 -7变换过后可得1 1 0 -3 -10 2 -2 -2 -10 0 0 3 -10 0 0 0 0在根据该变换系数写出对应的方程组x1+x2-3x4-x5=0(该处的x3系数为0,不用写出来)2x2-2x4-2x4-x5=0,3x4-x5=0这里开始,要选参数进行解题(不要问为什么这样,这是‘百年’来的成果总结的经验= =)我们看到这三个方程组的第一个x项分别为(x1,x2,x4),将它们作为未知量,故选取x3,x5(非第一项的x项)为参数,作为参数的表面意思是将他们移到右边。既有:x1+x2-3x4=x5'2x2-2x4=x5'+2x3'3x4=x5'(加 ' 的原因是区别于原来的x项,原来的x项是作为未知量存在的)又到一个重点了(别问为什么,这样解比较方便,前人总结的经验,记住就好)
(04)2)非齐次方程组的解法:类似于上题,为了节约你的眼睛资源,我就简单说一下假设x1+x2-3x4-x5=a,x1-x2+2x3-x4=b,4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=c,2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=d
(05)即x1+x2-3x4-x5=A,2x2-2x3-2x4-x5=B,3x4-x5=C重点来了:与齐次方程不同,这里要先求出特解,而特解一般保留的未知量是第一个x项数!!这里即保留x1,x2,x4 (x3,x5设为0)所以原方程可化为x1+x2-3x4=A,2x2-2x4=B,3x4=C,
(06)还没有完!!!这只是特解!还要求基础解系在这里我们要把右边的数全部变为0,即A=1 1 0 -3 -11 -1 2 -1 04 -2 6 3 -42 4 -2 4 -7就和齐次方程一样了,不多说(和上题一样的解法),我们可解得:X1=(-1,1,1,0,0),X2=(7/6, 5/6, 0, 1/3, 1)所以方程通解为X=特解+基础解系=(A+2/3C-1/2B, 1/3C+1/2B, 0, C, 0)+k1(-1,1,1,0,0)+k2(7/6, 5/6, 0, 1/3, 1)
特别提示
静下心来才能解题,百变不离其中
多做题,多练是非常重要的哦
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