巧用極座標變換求二元函數的極限
對於一些複雜的二元函數,我們沒法通過鄰域變形式來巧妙的處理極限問題,這裏給大家介紹用極座標變換的方法來化解這種尷尬,除此以外還會有其他的方法,這裏的極座標變換的法子很適合求趨於原點時的極限,以下會給大家舉一個例子,希望對你有所幫助。
操作方法
01題幹給出的函數是分情況的,原點處的表達式為常數0,非原點處的函數表達式很複雜,如圖,要求我們驗證原點處的極限是否為0?
02這裏就運用了極座標變換的方法了,可能大家在高中數學選修中已經接觸到了極座標的相關知識,這裏令x,y分別為rcosθ,rsinθ。
03這裏的參數r的幾何意義就是改點到極點的距離,θ表示改點與極軸的夾角,那麼原函數趨於(0,0)的條件在極座標下就變為r→0了,正好這裏的r也滿足圓形鄰域的表達式。
04用極座標變化表示出原函數的關係式,中間能約分的約分,能合併的合併,需要用到三角函數的知識,最終化簡如下。
05很顯然sin函數是恆≦1的,那麼就可以放縮到如下步驟
06最後根據二元函數極限的定義,來確定δ的取值,那麼函數趨於原點的極限就是0了。
07【總結】
一般遇到比較複雜,又是求點(0,0)的極限可以採用極座標變換的方法來簡化問題,這道題目就很好的運用了。
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