怎樣討論二元函數在某點是否存在極限?
在草稿本上,先試試,初步判斷一下是否存在極限,如果有極限那就用極限的定義去證明,沒有極限的話我們只需要舉個反例即可。這裏所説的舉反例是通過不同的路徑去逼近,結果不相等的話就説明該點不存在極限。下面就用一個實際案例給大家詮釋,希望對你有所幫助。
操作方法
01下面是這個題幹,主要的意思就是問在趨於定點(0,0)的時候是否存在極限。
02對於這種題目,我們現在演草紙上用不同的路徑去逼近,一般取兩個路徑就可以了。具體怎麼做呢?就是用y=x,y=2x這樣一組斜率不等的路徑逼近原點,分別計算這兩個路徑在趨於原點的極限。如果相等的話就説明有極限,參照定義證明即可,我們通常接觸到的都是第二類情況。
03大家還記得怎樣用定義去證明二元函數的極限吧,直接發佈了一篇這種情況的下的解決方法,大家可以搜索 如何用定義來驗證二元函數的極限? 即可。
04這裏我們不取兩個具體的斜率的路徑,直接用一個變量去代替斜率,這樣就會得到下面的式子
05函數中的y全部用mx替代,這樣咱們的趨於原點就變成x→0,在趨於原點的極限就變成關於m的式子了。
06當m取不同的數值,函數在原點的極限不相等,這樣就可以説明該函數在原點處沒有極限。
07【總結】
每道題目做下來都要進行總結,這裏學到的就是怎樣用不同路徑逼近來證明函數極限的不存在,以後會經常用到這種方法處理問題的。
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