如何求积分
积分算是微分的逆运算,积分可以用来计算曲线下的面积。多项式的类型不同,积分的公式也不同。
简单的积分
(01)大多数多项式适用的积分公式。比如多项式:y = a*x^n.
(02)系数除以(n+1),然后指数加上1。换句话说y = a*x^n 的积分是y = (a/n+1)*x^(n+1).
(03)对于不定积分,一个多项式对应多个,所以要加上积分常数C。因此本例的最终结果是y = (a/n+1)*x^(n+1) + C。考虑这样一个问题:在计算微分是,所有常数项都被省略。因此,在求积分时,积分结果可以加上任意的常数。
(04)根据这个公式,计算积分。比如,y = 4x^3 + 5x^2 +3x的积分是(4/4)x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C =x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C.
其他公式
(01)上文提到的公式不适用于x^-1或1/x的形式。当你计算指数为-1的指数式的积分时,其结果是自然对数的形式。换句话说(x+3)^-1的积分是ln(x+3) + C。
(02)e^x的积分就是它自身。e^(nx)的积分是1/n * e^(nx) + C;因此,e^(4x) 的积分是1/4 * e^(4x) + C。
(03)三角函数的积分需要记忆。你要记住下面的积分公式:cos(x) 的积分是sin(x) + Csin(x) 的积分是-cos(x) + C(note the negative sign!)根据这两个公式,你可以计算tan(x),即sin(x)/cos(x)的积分。 其积分是-ln|cos x| + C,你可以求它的微分看看。
(04)对于比较复杂的多项式,比如(3x-5)^4, 要使用替换法来求积分。引入一个变量,比如u,来代替多项式,3x-5,这样可以简化所求的式子,然后套用上面的基本积分公式。
(05)计算相乘两函数的积分,使用分部积分法。
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