線性代數:如何求特徵值和特徵向量?
線性代數的學習中,掌握方法很重要。下面就為大家慢慢解析,如何求特徵值和特徵向量。
特徵值和特徵向量的相關定義
首先我們需要了解特徵值和特徵向量的定義,如下圖;
齊次性線性方程組和非其齊次線性方程組的區別,如下圖;
特徵子空間的定義,如下圖;
特徵多項式的定義,如下圖;
特徵值的基本性質,如下圖;
齊次線性方程組解法
齊次線性方程組的特徵就是等式右邊為0,以消元法簡化;
在初等數學方程組中都是有唯一解的,而線上性代數中,我們把這種情況稱為方程組“係數矩陣的秩為1”,記為r(A)=1,當矩陣的秩小於未知數的個數時,方程組有無數個解;當矩陣的秩等於未知數的個數時,方程組只有零解。
由於上訴方程組有兩個未知數,而r(A)=1<2,所以此組有無數個解。設 y=2 ,則 x=1;再設k為任意常數,則 x=k, y=2k為方程組的解,寫成矩陣的形式為:
非齊次線性方程組解法
非齊次線性方程組因為不等於0,看起來很複雜,其實方法還是先用消元法簡化步驟;
這一次進行初等行變換後,對於任意的非齊次線性方程組,當 r(A)=r(A|b)=未知數的個數時,非齊次線性方程組有唯一解;當 r(A)=r(A|b)<未知數的個數時,非齊次線性方程組有無數個解;當 r(A) ≠r(A|b) 時,非齊次線性方程組無解。
可見 r(A)=r(A|b)=3,所以[A|b]有唯一解,寫回方程組形式:
例題解析
求下列矩陣的特徵值和特徵向量;
求矩陣特徵值和特徵向量的一般解法;
試證明A的特徵值唯有1和2;
證明性問題還是需要解出特徵值。
關於特徵值與特徵向量的理解
對於特徵值與特徵向量,總結起來大概分為三種理解:
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