有限元法求解問題的基本步驟介紹
有限元法是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域,常常需要求解各類微分方程,而許多微分方程的解析解一般很難得到,使用有限元法將微分方程離散化後,可以編制程序,使用計算機輔助求解。
有限元法求解步驟
(01)結構離散化對整個結構進行離散化,將其分割成若干個單元,單元間彼此透過節點相連;
(02)求出各單元的剛度矩陣[K](e)[K](e)是由單元節點位移量{Φ}(e)求單元節點力向量{F}(e)的轉移矩陣,其關係式爲:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e);
(03)集成總體剛度矩陣[K]並寫出總體平衡方程總體剛度矩陣[K]是由整體節點位移向量{Φ}求整體節點力向量 的轉移矩陣,其關係式爲{F}= [K] {Φ},此即爲總體平衡方程。
(04)引入支撐條件,求出各節點的位移節點的支撐條件有兩種:一種是節點n沿某個方向的位移爲零,另一種是節點n沿某個方向的位移爲一給定值。
(05)求出各單元內的應力和應變對於有限元方法,其基本思路和解題步驟可歸納爲7點
基本思路和解題步驟
(01)建立積分方程,根據變分原理或方程餘量與權函數正交化原理,建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式,這是有限元法的出發點。
(02)區域單元剖分,根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點,將區域剖分爲若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期準備工作,這部分工作量比較大,除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關係之外,還要表示節點的位置座標,同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
(03)確定單元基函數,根據單元中節點數目及對近似解精度的要求,選擇滿足一定插值條件的插值函數作爲單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的,由於各單元 具有規則的幾何形狀,在選取基函數時可遵循一定的法則。
(04)單元分析:將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近;再將近似函數代入積分方程,並對單元區域進行積分,可獲得含有待定係數(即單元中各節點 的參數值)的代數方程組,稱爲單元有限元方程。
(05)總體合成:在得出單元有限元方程之後,將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加,形成總體有限元方程。
(06)邊界條件的處理:一般邊界條件有三種形式,分爲本質邊界條件(狄裏克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件,一般在積分表達式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件,需按一定法 則對總體有限元方程進行修正滿足。
(07)解有限元方程:根據邊界條件修正的總體有限元方程組,是含所有待定未知量的封閉方程組,採用適當的數值計算方法求解,可求得各節點的函數值。
FELAC 2.0 簡介
(01)FELAC2.0採用自訂的有限元語言作爲腳本代碼語言,它可以使用戶以一種類似於數學公式書寫和推導的方式,非常自然和簡單的表達待解問題的微分方程表達式和算法表達式,並由生成器解釋產生完整的並行有限元計算C程序。
(02)FELAC2.0的目標是透過輸入微分方程表達式和算法之後,就可以得到所有有限元計算的程序代碼,包含串行程序和並行程序。該系統採用一種語言(有限元語言)和四種技術(對象技術、組件技術、公式庫技術生成器技術)開發而成。並且基於FELAC 1.0的用戶介面,新版本擴充了工作目錄中右鍵編譯功能、命令終端輸入功能,並且豐富了文字編輯功能,改善了用戶的視覺體驗,方便用戶快速便捷的對腳本或程序進行編輯、編譯與調試。其中並行版在前後處理上進行了相應的改進。
特別提示
FELAC 2.0分爲串行版和並行版,請選擇所需版本使用
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