關於一動碰一動的一維碰撞碰後速度的推導過程
高中物理選修3—5,在研究碰撞問題時,教材只要求掌握一維的一動碰一靜的問題。但也有少數同學對兩球都運動的一維碰撞比較感興趣,自己去推導碰後速度又覺得很困難,為這個問題花費大量時間去研究好象也不行。推導過程其實只是一些數學遊戲,有一定的技巧性。現在就把推導過程展示給大家。
操作方法
(01)問題的提出:在一條直線上運動的兩個剛性小球,它們的質量和碰前速度如圖所示,試推導兩小碰撞後瞬間的速度。
(02)因為是剛性小球,碰撞過程兩小球組成的系統不僅動量守恆,而且機械能也守恆,列出兩個守恆方程。動量守恆方程1式為向量方程,但由於速度都是用字母表示,方向包含在字母V當中,所以可以不選取正方向。
(03)先將能量守恆方程2式化簡。約掉1/2並進行如圖所示的移項,然後提公因式,得到3式。操作運用的是小學初中的數學知識,想來同學們應該不會有問題。
(04)接下來對上一步得到的3式進行處理,運用平方差公式將上一步得到的等式進行展開,得到下圖中的4式。
(05)接着對動量守恆方程1式進行處理,先進行移項,再提公因式,再進行移項,得到圖中最下方的5式。
(06)將4式與5式進行等量代換,然後進行整理,得到關於碰前碰後各速度之間的關係式如下圖6式。
(07)將6式與1式聯立求解,先將第一個小球的碰後速度的表達式求出來。由得到的表達式可以知道,當V2=0時,就得到一動碰一靜問題中第一個小球的碰後速度的表達式。
(08)將得到的第一個小球碰後速度的表達式再代入1式,即可得到第二個小球碰後速度的表達式。當然也可以代入2式求解第二個小球的碰後速度的表達式,但因為2式涉及到平方,使求解過程變得複雜了,沒有必要舍簡就繁。
(09)最後,需要對兩小球的碰後速度表達式做些分析。分析兩小球質量的關係對碰後速度的影響,以加深對碰後速度表達式的理解。
特別提示
推導過程用到的數學知識雖然不是太難的知識,但推導過程還是比較複雜的,需要足夠的細心才不會出錯!
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