如何證明三角形三條高交於一點
很多人都知道三角形的三條高相交於一點,但卻不知道為什麼相交於一點,這裡蘊含了很多的數學重要思想,對中大學聯考壓軸題都很有幫助,下面小編來為你用多種不同的方法證明。
操作方法
(01)證法一:運用同一法證三條高兩兩相交的交點是同一點。已知:△ABC的兩條高BE、CF相交於點O,第三條高AD交高BD於點Q,交高CF於點P。求證:P、Q、O三點重合證明:如圖,∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF∴△ABE ∽ △ACF∴,即AB·AF = AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽ △ADC,△AFP ∽ △ADB∴,即AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP∵AB·AF = AC·AE,AC·AE = AD·AQ,AB·AF = AD·AP∴AD·AQ = AD·AP∴AQ = AP∵點Q、P都線上段AD上∴點Q、P重合∴AD與BE、AD與CF交於同一點∵兩條不平行的直線只有一個交點∴BE與CF也交於此點∴點Q、P、O重合。
(02)證法二:連結一頂點和兩高交點的線垂直於第三邊,運用四點共圓性質。已知:△ABC的兩條高AD、BE相交於點O,第三條高CF交高AB於點F,連結CO交AB於點F。求證:CF⊥AB。證明:∵AD⊥BC於E,BE⊥AC於E∴A、B、D、E四點共圓∴∠1=∠ABE同理∠2=∠1∴∠2=∠ABE∵∠ABE+∠BAC=90°,∴∠2+∠BAC=90°即CF⊥AB。
(03)證法三:證明兩條高的交點在第三條高線上,建立直角座標系運用代數方法證明。證明:如圖6,以直線BC為x軸,高AD為y軸,建立直角座標系,設A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由兩條直線垂直的條件則三條高的直線方程分別為:解(2)和(3)得∴這說明BE和CF得交點在AD上,所以三角形的三條高相交於一點。
(04)證法四:轉化為證明另一個三角形的三條中垂線(或中線)交於一點。已知:AD、BE、CF是△ABC的三條高。求證:AD、BE、CF相交於一點。證明:過點A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線ML、MN、NL∵AM∥BC,MB∥AC∴四邊形AMBC是平行四邊形∴AM=BC同理,AL=BC∴AM=AL∵AD⊥ML∴AD是ML的垂直平分線同理,BE、CF分別是MN、NL的垂直平分線而三角形的三條垂直平分線相交於一點∴AD、BE、CF相交於一點。
(05)證法五:運用錫瓦(Ceva)定理證明。已知:AD、BE、CF是△ABC的三條高。求證:AD、BE、CF相交於一點。證明:如圖,∵AD⊥BC於E,BE⊥AC於E∴△ABD ∽ △CBF∴ (1)同理,由△ADC ∽ △BEC得, (2)由△AFC ∽ △AEB(3)三式相乘得即∴AD、BE、CF相交於一點。
(06)證法六:用向量方法證明(國中沒有學過相關知識的可以不掌握)
特別提示
以上方法僅供參考,如有錯誤之處敬請諒解
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