一階常係數非齊次線性微分方程求解
介紹使用Mathematica求解一階常係數非齊次線性微分方程的步驟。
要求的方程形式就是封面中的方程。
操作方法
(01)首先,可以直接使用DSolve開檢視一階常係數非齊次線性微分方程通解的形式。有一個未知常量C1,此外還含有一個積分。
(02)下面詳細給出推演步驟(可手算)。首先,我們令【非齊次方程】這個符號儲存我們的偏微分方程。
(03)接下來,首先去掉等號右邊非齊次項,計算這個齊次方程的解我們儲存為符號【齊次解】。
(04)接著,我們要算滿足非齊次項的特解。我們把解中的常數C[1]替換為關於微分變數t的函式C[1][t]。把替換後的式子儲存為符號【常數變易】。稍後,我們需要算出C[1][t]。
(05)然後,我們把替換後的這個【常數變易】(半成品的解)帶回非齊次方程。這樣,我們就得到了一個關於C[1][t]的方程,把這個方程儲存到符號【求c的方程】。
(06)然後,我們求解這個求C[1][t]的方程。可以使用DSolve求解也可以容易的分離變數觀察得出。把解出的C[1][t]命名為【C1t的替換】。
(07)然後,我們把這個【C1t的替換】替換到【齊次解】,就得到了一個滿足原來非齊次方程的【特解】。
(08)【最終解】就等於【特解】+【通解】。使用如圖程式碼合併兩個解。這個解中只有一個未定常數C(只不過由於解相加相加寫成了C[1]+C[2])把【最終解】帶入原方程,可見滿足原方程。
(09)這裡再給出了幾個非齊次項已知的特殊情況,比如令f[t]=t或者e^t或者Sin[t]。
特別提示
由於本方程是一階的,因此有一個不定常數C。這個C在通解中。最終解是特解+通解。
之所以使用HoldForm保持解的表示式,是為了替換u[t]->...可以成功。否則MMA會把D[u[t],...]轉化為簡寫的偏導表示,u'[t]就不會被u[t]->規則替換和計算。
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