巧用點到直線距離的幾何意義求函數最值
對於高中生而言,要用常規方法求解某些函數的最值,是非常困難的,甚至不知道如何下手,但是善於利用函數的幾何意義,把所給函數整理變形,便立即可以看出明確的幾何意義,從而利用變形後函數所呈現出的幾何意義,數形結合,進行求解函數的最值問題。首先我們先來看看點到直線的距離,已知一點P(x0,y0)以及直線方程Ax+By+C=0,求點到直線的距離公式,如下圖所示:
操作方法
(01)下面我們具體看一個例題,看看如何利用點到直線的距離的幾何意義,求解函數的最值問題的。例題:求下圖1所示函數的最大值、最小值,題目如下圖所示:
(02)接下來我們對原函數進行變形處理,具體變形步驟如下圖所示,首先需要對函數進行適當的變形,使變形後的函數滿足點到直線的距離公式,這個過程就是點到直線距離公式的配湊過程。
(03)然後我們對點(x,(4-(x-2)^2)^(1/2))作分析,把它變成參數方程,則有x0=t,y0=(4-(t-2)^2)^(1/2)。因爲(x0-2)^2+y0^2=(t-2)^2+4-(t-2)^2=4,顯然x0,y0滿足以(2,0)點爲圓心,半徑爲2的圓,且是上半圓,因爲y0>0的。我們畫出直線方程和滿足x0,y0的原方程圖像,具體圖像如下圖所示,非常簡單,直線方程時一條直線,還有一個以(2,0)點爲圓心,半徑爲2的圓的上半圓。
(04)畫出圖形後,數形結合,在圖上過圓心A作直線的垂線,交直線於C點,交圓於E點,在過圓最右端點B作直線的垂線,交直線於D,則很明顯圓上點到直線的最小距離是CE,最大距離是BD,再次利用點距離距離公式,計算出CE、BD的大小,即可求得原函數的最值。計算過程如下圖所示:
(05)上面我們求出了圓上點到直線的最大最小值,分別爲BD、CE長度,將這兩個值代入原函數的變形表達式中,可得到函數的最大、最小值。具體如下所示:
特別提示
關鍵在於函數如何變形爲點到直線距離公式的形式。
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