反三角函數的定義域是什麼?
反三角函數分爲:反正弦函數,反餘弦函數,反正切函數,反餘切函數,反正割函數,反餘割函數,其中反正弦函數與反餘弦函數的定義域是[-1,1],反正切函數和反餘切函數的定義域是R,反正割函數和反餘割函數的定義域是(-∞,-1]U[1,+∞)。
反三角函數是一種基本初等函數。它是反正弦arcsin x,反餘弦arccos x,反正切arctan x,反餘切arccot x,反正割arcsec x,反餘割arccsc x這些函數的統稱,各自表示其反正弦、反餘弦、反正切、反餘切 ,反正割,反餘割爲x的角。
三角函數的反函數是個多值函數,因爲它並不滿足一個自變量對應一個函數值的要求,其圖像與其原函數關於函數y=x對稱。
爲了保證函數與自變量之間的單值對應,確定的區間必須具有單調性;函數在這個區間最好是連續的(這裏之所以說最好,是因爲反正割和反餘割函數是尖端的);爲了使研究方便,常要求所選擇的區間包含0到π/2的角;所確定的區間上的函數值域應與整函數的定義域相同。這樣確定的反三角函數就是單值的,爲了與上面多值的反三角函數相區別,在記法上常將Arc中的A改記爲a,例如單值的反正弦函數記爲arcsin x。
正弦函數y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函數,叫做反正弦函數。記作arcsinx,表示一個正弦值爲x的角,該角的範圍在[-π/2,π/2]區間內。定義域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。
餘弦函數y=cos x在[0,π]上的反函數,叫做反餘弦函數。記作arccosx,表示一個餘弦值爲x的角,該角的範圍在[0,π]區間內。定義域[-1,1] , 值域[0,π]。
正切函數y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函數,叫做反正切函數。記作arctanx,表示一個正切值爲x的角,該角的範圍在(-π/2,π/2)區間內。定義域R,值域(-π/2,π/2)。
餘切函數y=cot x在(0,π)上的反函數,叫做反餘切函數。記作arccotx,表示一個餘切值爲x的角,該角的範圍在(0,π)區間內。定義域R,值域(0,π)。
正割函數y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函數,叫做反正割函數。記作arcsecx,表示一個正割值爲x的角,該角的範圍在[0,π/2)U(π/2,π]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。
餘割函數y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函數,叫做反餘割函數。記作arccscx,表示一個餘割值爲x的角,該角的範圍在[-π/2,0)U(0,π/2]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。
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