橢圓參數方程
操作方法
(01)參數方程由來:圓的參數方程[特殊情形,圓心(0,0),半徑R]{x=Rcosαy=Rsinα(α為參數,0≤α<2π)其參數α的幾何意義是圓上動點和圓心連線的旋轉角,如下圖所示;
(02)圓的參數方程[一般情形,圓心(m,n),半徑R]{x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α為參數,0≤α<2π)注意:很多容易和極座標的座標(ρ,θ)中的θ混淆,如圖所示,參數α=∠ACP;範圍α∈[0,2π]
(03)橢圓的參數方程{x=acosϕy=bsinϕ(ϕ為參數,0≤ϕ<2π)其參數ϕ的幾何意義是對應的大圓或小圓半徑的旋轉角∠AOM,也就是橢圓的離心角.不是橢圓上動點和中心連線的旋轉角∠AOP;切記!雖然∠AOM和∠AOP二者不相等,但是很顯然這二者也是一一對應的,並且它們的範圍都是[0,2π).
(04)列子:已知橢圓的參數方程為{x=2costy=4sint (t為參數),點M在橢圓上,對應參數t=π3,點O為原點,則直線OM的斜率為3–√。分析:這個説法是錯誤的,怎麼糾正呢?
(05)當t=π3時,代入得到x=2cosπ3=1,y=2sinπ3=23–√,故M(1,23–√),則kOM=y−0x−0=23–√。
(06)化為參數方程:介紹一個容易記憶的方法:類比:cos2θ+sin2θ=1當圓為x2+y2=4時,先轉換為(x2)2+(y2)2=1,cos2θ+sin2θ=1(x2)2+(y2)2=1對應上式,得到cosθ=x2,sinθ=y2,故圓的參數方程為{x=2cosθy=2sinθ(θ為參數);當然,我們還可以這樣交叉對應,得到sinθ=x2,cosθ=y2,故圓的參數方程還可以為{x=2sinθy=2cosθ(θ為參數);
(07)【説明】①由此説明,當我們取的參數不一樣時,圓的參數方程是不一樣的,即圓的參數方程可能不唯一。兩種參數的含義不一定一樣。②我們約定俗成的取法是第一種。③參數方程的參數有時候有明確的幾何意義,有時候沒有。當圓為(x−a)2+(y−b)2=R2時,先轉換為(x−aR)2+(y−bR)2=1,對應上式,得到cosθ=x−aR,sinθ=y−bR,故圓的參數方程為{x=a+Rcosθy=b+Rsinθ(θ為參數);當橢圓為x2a2+y2b2=1時,先轉化為(xa)2+(yb)2=1,對應上式得到cosθ=xa,sinθ=yb,故橢圓的參數方程為{x=acosθy=bsinθ(θ為參數);
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