向量的運算的所有公式有哪些?
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則, 向量加法的運算律:交換律:a+b=b+a;結合律:(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0,0的反向量為0,OA-OB=BA.即“共同起點,指向被減”a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,則a-b=(x1-x2,y1-y2)。
在數學中,向量(也稱為歐幾里得向量、幾何向量、向量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指:代表向量的方向;線段長度:代表向量的大小。向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則,向量加法的運算律:交換律:a+b=b+a;結合律:(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0,0的反向量為0,OA-OB=BA.即“共同起點,指向被減”a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,則a-b=(x1-x2,y1-y2)。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量對於數的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律:① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ。
向量的數量積的運算律
a·b=b·a(交換律)
(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
向量的數量積的性質
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。(該公式證明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)
向量的向量積運算律
a×b=-b×a
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
a×(b+c)=a×b+a×c.
(a+b)×c=a×c+b×c.
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