如何求積分
積分算是微分的逆運算,積分可以用來計算曲線下的面積。多項式的類型不同,積分的公式也不同。
簡單的積分
(01)大多數多項式適用的積分公式。比如多項式:y = a*x^n.
(02)係數除以(n+1),然後指數加上1。換句話說y = a*x^n 的積分是y = (a/n+1)*x^(n+1).
(03)對於不定積分,一個多項式對應多個,所以要加上積分常數C。因此本例的最終結果是y = (a/n+1)*x^(n+1) + C。考慮這樣一個問題:在計算微分是,所有常數項都被省略。因此,在求積分時,積分結果可以加上任意的常數。
(04)根據這個公式,計算積分。比如,y = 4x^3 + 5x^2 +3x的積分是(4/4)x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C =x^4 + (5/3)*x^3 + (3/2)*x^2 + C.
其他公式
(01)上文提到的公式不適用於x^-1或1/x的形式。當你計算指數爲-1的指數式的積分時,其結果是自然對數的形式。換句話說(x+3)^-1的積分是ln(x+3) + C。
(02)e^x的積分就是它自身。e^(nx)的積分是1/n * e^(nx) + C;因此,e^(4x) 的積分是1/4 * e^(4x) + C。
(03)三角函數的積分需要記憶。你要記住下面的積分公式:cos(x) 的積分是sin(x) + Csin(x) 的積分是-cos(x) + C(note the negative sign!)根據這兩個公式,你可以計算tan(x),即sin(x)/cos(x)的積分。 其積分是-ln|cos x| + C,你可以求它的微分看看。
(04)對於比較複雜的多項式,比如(3x-5)^4, 要使用替換法來求積分。引入一個變量,比如u,來代替多項式,3x-5,這樣可以簡化所求的式子,然後套用上面的基本積分公式。
(05)計算相乘兩函數的積分,使用分部積分法。
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