求最大公因數的幾種常見方法
求最大公因數是我們小學的學習內容了,讓我們一起來回顧一下。
操作方法
01質因數分解法:把每個數分別分解質因數,再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘,所得的積就是這幾個數的最大公約數。
例如:求24和60的最大公約數,先分解質因數,得24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,24與60的全部公有的質因數是2、2、3,它們的積是2×2×3=12,所以,(24、60)=12。
短除法
短除法:短除法求最大公約數,先用這幾個數的公約數連續去除,一直除到所有的商互質爲止,然後把所有的除數連乘起來,所得的積就是這幾個數的最大公約數。
輾轉相除法
古希臘數學家歐幾里德
輾轉相除法:輾轉相除法是求兩個自然數的最大公約數的一種方法,也叫歐幾里德算法。這就是輾轉相除法的原理。
例如,求(319,377):
∵ 319÷377=0(餘319)
∴(319,377)=(377,319);
∵ 377÷319=1(餘58)
∴(377,319)=(319,58);
∵ 319÷58=5(餘29),
∴ (319,58)=(58,29);
∵ 58÷29=2(餘0),
∴ (58,29)= 29;
∴ (319,377)=29.
可以寫成右邊的格式。
用輾轉相除法求幾個數的最大公約數,可以先求出其中任意兩個數的最大公約數,再求這個最大公約數與第三個數的最大公約數,依次求下去,直到最後一個數爲止。最後所得的那個最大公約數,就是所有這些數的最大公約數。
更相減損法:也叫更相減損術,是出自《九章算術》的一種求最大公約數的算法,它原本是爲約分而設計的,但它適用於任何需要求最大公約數的場合。
06第一步:任意給定兩個正整數;判斷它們是否都是偶數。若是,則用2約簡;若不是則執行第二步。
第二步:以較大的數減較小的數,接着把所得的差與較小的數比較,並以大數減小數。繼續這個操作,直到所得的減數和差相等爲止。
則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
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