如何證明三角形三條高交於一點

很多人都知道三角形的三條高相交於一點，但卻不知道爲什麼相交於一點，這裏蘊含了很多的數學重要思想，對中高考壓軸題都很有幫助，下面小編來爲你用多種不同的方法證明。

操作方法

（01）證法一：運用同一法證三條高兩兩相交的交點是同一點。已知：△ABC的兩條高BE、CF相交於點O，第三條高AD交高BD於點Q，交高CF於點P。求證：P、Q、O三點重合證明：如圖，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF∴△ABE ∽ △ACF∴，即AB·AF = AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽ △ADC，△AFP ∽ △ADB∴，即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP∴AD·AQ = AD·AP∴AQ = AP∵點Q、P都在線段AD上∴點Q、P重合∴AD與BE、AD與CF交於同一點∵兩條不平行的直線只有一個交點∴BE與CF也交於此點∴點Q、P、O重合。

（02）證法二：連結一頂點和兩高交點的線垂直於第三邊，運用四點共圓性質。已知：△ABC的兩條高AD、BE相交於點O，第三條高CF交高AB於點F，連結CO交AB於點F。求證：CF⊥AB。證明:∵AD⊥BC於E，BE⊥AC於E∴A、B、D、E四點共圓∴∠1＝∠ABE同理∠2＝∠1∴∠2＝∠ABE∵∠ABE+∠BAC＝90°，∴∠2+∠BAC＝90°即CF⊥AB。

（03）證法三：證明兩條高的交點在第三條高線上，建立直角座標系運用代數方法證明。證明：如圖6，以直線BC爲x軸，高AD爲y軸，建立直角座標系，設A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由兩條直線垂直的條件則三條高的直線方程分別爲：解（2）和（3）得∴這說明BE和CF得交點在AD上，所以三角形的三條高相交於一點。

（04）證法四：轉化爲證明另一個三角形的三條中垂線（或中線）交於一點。已知：AD、BE、CF是△ABC的三條高。求證：AD、BE、CF相交於一點。證明：過點A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線ML、MN、NL∵AM∥BC，MB∥AC∴四邊形AMBC是平行四邊形∴AM＝BC同理，AL＝BC∴AM＝AL∵AD⊥ML∴AD是ML的垂直平分線同理，BE、CF分別是MN、NL的垂直平分線而三角形的三條垂直平分線相交於一點∴AD、BE、CF相交於一點。

（05）證法五：運用錫瓦（Ceva）定理證明。已知：AD、BE、CF是△ABC的三條高。求證：AD、BE、CF相交於一點。證明：如圖，∵AD⊥BC於E，BE⊥AC於E∴△ABD ∽ △CBF∴ （1）同理，由△ADC ∽ △BEC得，（2）由△AFC ∽ △AEB（3）三式相乘得即∴AD、BE、CF相交於一點。