如何計算向量加減法
向量是包括大小和方向的物理量,比如,速度、加速度和位移,與速率、距離、能量等只含有大小的標量不同,標量可以直接相加(比如5kj的功加6kj的功等於11kj的功),而向量的加減法要更復雜。本文將教會你如何進行向量加減法。
向量加減的步驟
(01)假設有兩個向量,向量A和向量B,A=<a1,b1,c1>B=<a2,b2,c2>
(02)如果我們想計算向量A和向量B的和,那麼A+B= <a1+a2,b1+b2,c1+c2>
(03)如果我們想從向量A中減去向量B,那麼A-B= <a1-a2,b1-b2,c1-c2>
頭尾相接的向量
(01)先來定義向量的頭和尾。隨便畫一個向量,按比例縮放或者任意畫一個向量都可以。如果你是按比例縮放畫向量的話,一定要注意角度要保持不變。
(02)再畫另一個向量,該向量的尾部和之前的向量頭部相連。
(03)繼續畫向量。畫向量的順序以及向量的長度任意,只需要保持頭尾相連即可。
(04)將第一個向量的尾部和最後一個向量的頭部連接起來。這樣就得到了一個新的向量,這個向量就是之前幾個向量的合向量。如果你是按照比例縮放畫向量,那麼你要保證角度不變,然後用尺子量出合向量的長度,再測量出合向量和指定向量的角度,或者和水平方向的夾角。如果你畫的是草圖,你可以用三角法來計算合向量的大小。需要用到正弦定理和餘弦定理。如果你要計算兩個以上的向量的和,你可以先計算其中兩個向量的和,然後用這兩個向量的合向量再和第三個向量求和,然後以此類推。
(05)描述合向量。比如,如果向量代表的是速度,那麼最後的結果可以描述成,“速度是xms-1,和水平/垂直方向的角度是y”o
向量分解
(01)這個方法通常用在位於直角平面中的向量上,不過也可以用在別的向量上。
(02)將每一個向量分解成互相垂直的兩個向量。比如,將向量按照水平和垂直兩個方向分解。通常在直角平面中,按照x軸方向和y軸方向分解。沿着x軸方向分解所得的向量記爲i,沿着y軸方向分解所得的向量爲j。要將力進行分解,你需要知道力與水平方向和豎直方向,即x軸和y軸的夾角。角度已知的情況下,你可以以力作爲斜邊構造直接三角形,而直角三角形的兩邊分別沿x軸和y軸方向。兩直角邊的長度就是力沿這兩個方向分解之後的大小,可以透過三角函數計算出來。與夾角相鄰的直角邊用xcos(角度)來計算,與夾角相對的直接邊用xsin(角度)來計算,其中x的大小就是原力的大小。如果一個分力指向左或者指向下,就給這個分力標個負號(-)。
(03)將所有向量的水平分量(沿x軸的向量)相加,將所有向量的豎直分量(沿y軸的向量)相加。如果某一向量前有負號(-),那麼這個向量要被減去,而不是加上。
(04)使用勾股定理計算合向量的大小。勾股定理的形式是:c2=a2+b2,其中c代表合力的大小,a是x軸分向量大小的和,b是y軸分向量大小的和。
(05)計算合向量和水平方向(x軸方向)的夾角。利用公式θ=tan-1(b/a),其中θ是合向量和水平方向的夾角。
(06)描述合向量。比如,如果向量代表的是力,那麼結果可以描述成"大小爲xN的力,與水平方向/x軸的夾角是yo"。
向量減法
(01)加上負向量。用一個向量減去另一個向量,可以看做是加上一個“負向量”。
(02)求負向量。負向量的大小和原向量一樣,但是方向相反。你可以先畫出原向量,然後在另一端標出箭頭,即原向量的頭變成負向量的尾,原向量的尾變成負向量的頭。
(03)然後用負向量按照求向量和的方法求和。用上文提到的方法,求出負向量和其餘向量的合向量。
特別提示
不要混淆向量和標量。
相同方向的向量可以直接對向量大小進行加減。如果你要計算兩個方向相反向量的和,那麼你要用其中一個向量的長度減去另一個向量的長度。
在三維空間中利用公式a2=b2+c2+d2求向量的長度。其中a是向量的大小,而b, c, d是向量在三個方向上的分量大小。
求用xi+ yj+ zk描述的向量之間的加減,可以直接對三個分量的係數進行加減計算。最終結果的形式同樣用i,j,k來表示。
列向量之間的加減法可以直接計算每一列上數字的和或差。
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