有理數的定義是什麼?
有理數爲整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱。正整數和正分數合稱爲正有理數,負整數和負分數合稱爲負有理數。因而有理數集的數可分爲正有理數、負有理數和零。
實數(R)可以分爲有理數(Q)和無理數,其中無理數就是無限不循環小數,有理數就是有限小數和無限循環小數;其中有理數又可以分爲整數(Z)和分數;整數按照能否被2整除又可以分爲奇數(不能被2整除的整數)和偶數(能被2整除的整數)。
有理數(Q)
有理數爲整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱。正整數和正分數合稱爲正有理數,負整數和負分數合稱爲負有理數。因而有理數集的數可分爲正有理數、負有理數和零。由於任何一個整數或分數都可以化爲十進制循環小數,反之,每一個十進制循環小數也能化爲整數或分數,因此,有理數也可以定義爲十進制循環小數。比如4=4.0, 4/5=0.8。
加法運算
1、同號兩數相加,取與加數相同的符號,並把絕對值相加。
2、異號兩數相加,若絕對值相等則互爲相反數的兩數和爲0;若絕對值不相等,取絕對值較大的加數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值。
3、互爲相反數的兩數相加得0。
4、一個數同0相加仍得這個數。
5、互爲相反數的兩個數,可以先相加。
6、符號相同的數可以先相加。
7、分母相同的數可以先相加。
8、幾個數相加能得整數的可以先相加
減法運算
減去一個數,等於加上這個數的相反數,即把有理數的減法利用數的相反數變成加法進行運算。
乘法運算
1、同號得正,異號得負,並把絕對值相乘。
2、任何數與零相乘,都得零。
3、幾個不等於零的數相乘,積的符號由負因數的個數決定,當負因數有奇數個時,積爲負,當負因數有偶數個時,積爲正。
4、幾個數相乘,有一個因數爲零,積就爲零。
5、幾個不等於零的數相乘,首先確定積的符號,然後後把絕對值相乘。
除法運算
1、除以一個不等於零的數,等於乘這個數的倒數。
2、兩數相除,同號得正,異號得負,並把絕對值相除。零除以任意一個不等於零的數,都得零。
注意:
零不能做除數和分母。
有理數的除法與乘法是互逆運算。
在做除法運算時,根據同號得正,異號得負的法則先確定符號,再把絕對值相除。若在算式中帶有帶分數,一般先化成假分數進行計算。若不能整除,則除法運算都轉化爲乘法運算。
乘方運算
1、負數的奇數次冪是負數,負數的偶數次冪是正數。例如:(-2)?(-2的3次方)=-8,(-2)?(-2的2次方)=4。
2、正數的任何次冪都是正數,零的任何正數次冪都是零。例如:2(2的2次方)=4,2 (2的3次方)=8,0(0的3次方)=0。
3、零的零次冪無意義。
4、由於乘方是乘法的特例,因此有理數的乘方運算可以用有理數的乘法運算完成。
5、1的任何次冪都是1,-1的偶次冪是1,奇次冪是-1。
有理數運算定律
加法運算律:
1、加法交換律:兩個數相加,交換加數的位置,和不變。
2、加法結合律:三個數相加,先把前兩個數相加或者先把後兩個數相加,和不變,即(a+b)+c=a+(b+c)a+b。
減法運算律:
減去一個數,等於加上這個數的相反數。即:a-b=a+(-b)。
乘法運算律:
1、乘法交換律:兩個數相乘,交換因數的位置,積不變。
2、乘法結合律:三個數相乘,先把前兩個數先乘,或者先把後兩個相乘,積不變。
3、乘法分配律:某個數與兩個數的和相乘等於把這個數分別與這兩個數相乘,再把積相加,即:a(b+c)=ab+ac(ab)c=a(bc)ab=ba。
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