逆矩陣怎麼求?
最簡單的辦法是用增廣矩陣。如果要求逆的矩陣是A,則對增廣矩陣(AE)進行初等行變換,E是單位矩陣,將A化到E,此時此矩陣的逆就是原來E的位置上的那個矩陣,原理是A逆乘以(AE)=(EA逆)初等行變換就是在矩陣的左邊乘以A的逆矩陣得到的。
設A是數域上的一個n階矩陣,若在相同數域上存在另一個n階矩陣B,使得:AB=BA=E,則我們稱B是A的逆矩陣,而A則被稱爲可逆矩陣。注:E爲單位矩陣。可逆矩陣一定是方陣。如果矩陣A是可逆的,其逆矩陣是唯一的。
A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作(A-1)-1=A。可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆,並且(AT)-1=(A-1)T(轉置的逆等於逆的轉置)若矩陣A可逆,則矩陣A滿足消去律。即AB=O(或BA=O),則B=O,AB=AC(或BA=CA),則B=C。
高斯消元法是最經典也是最廣爲人知的一種矩陣求逆方法,但是在現實應用中很少用到高斯消元法來進行矩陣的逆矩陣的求解。高斯消元法有兩個版本:行變換版本與列變換版本,在日常應用中行變換應用的更廣泛。這兩個基本原理都是相同的。高斯消元法先將矩陣A與單位矩陣I進行連接形成一個新的增廣矩陣。兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。
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