數量關係抽屜原理
把4只蘋果放到3個抽屜裏去,共有4种放法(請小朋友們自己列舉),不論如何放,必有一個抽屜裏至少放進兩個蘋果。
同樣,把5只蘋果放到4個抽屜裏去,必有一個抽屜裏至少放進兩個蘋果。
……
更進一步,我們能夠得出這樣的結論:把n+1只蘋果放到n個抽屜裏去,那麼必定有一個抽屜裏至少放進兩個蘋果。這個結論,通常被稱爲抽屜原理。
利用抽屜原理,可以說明(證明)許多有趣的現象或結論。不過,抽屜原理不是拿來就能用的,關鍵是要應用所學的數學知識去尋找“抽屜”,製造“抽屜”,弄清應當把什麼看作“抽屜”,把什麼看作“蘋果”。
典型例題分析
(01)【例1】一個小組共有13名同學,其中至少有2名同學同一個月過生日。爲什麼?【分析】每年裏共有12個月,任何一個人的生日,一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”,把13名同學的生日看成13只“蘋果”,把13只蘋果放進12個抽屜裏,一定有一個抽屜裏至少放2個蘋果,也就是說,至少有2名同學在同一個月過生日。
(02)【例 2】任意4個自然數,其中至少有兩個數的差是3的倍數。這是爲什麼?【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規律:如果兩個自然數除以3的餘數相同,那麼這兩個自然數的差是3的倍數。而任何一個自然數被3除的餘數,或者是0,或者是1,或者是2,根據這三種情況,可以把自然數分成3類,這3種類型就是我們要製造的3個“抽屜”。我們把4個數看作“蘋果”,根據抽屜原理,必定有一個抽屜裏至少有2個數。換句話說,4個自然數分成3類,至少有兩個是同一類。既然是同一類,那麼這兩個數被3除的餘數就一定相同。所以,任意4個自然數,至少有2個自然數的差是3的倍數。想一想,例2中4改爲7,3改爲6,結論成立嗎?
(03)【例3】有規格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內,試問不論如何取,從箱中至少取出多少隻就能保證有3雙襪子(襪子無左、右之分)?【分析與解】試想一下,從箱中取出6只、9只襪子,能配成3雙襪子嗎?回答是否定的。按5種顏色製作5個抽屜,根據抽屜原理1,只要取出6只襪子就總有一隻抽屜裏裝2只,這2只就可配成一雙。拿走這一雙,尚剩4只,如果再補進2只又成6只,再根據抽屜原理1,又可配成一雙拿走。如果再補進2只,又可取得第3雙。所以,至少要取6+2+2=10只襪子,就一定會配成3雙。
特別提示
抽屜原理還可以反過來理解:假如把n+1個蘋果放到n個抽屜裏,放2個或2個以上蘋果的抽屜一個也沒有(與“必有一個抽屜放2個或2個以上的蘋果”相反),那麼,每個抽屜最多隻放1個蘋果,n個抽屜最多有n個蘋果,與“n+1個蘋果”的條件矛盾。
運用抽屜原理的關鍵是“製造抽屜”。通常,可採用把n個“蘋果”進行合理分類的方法來製造抽屜。比如,若干個同學可按出生的月份不同分爲12類,自然數可按被3除所得餘數分爲3類等等。
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