反函數與原函數的關係是什麼?
反函數與原函數的關係:反函數的定義域與值域分別是原函數的值域與定義域;函數的反函數,本身也是一個函數,由反函數的定義,原函數也是其反函數的反函數,故函數的原函數與反函數互稱爲反函數;偶函數必無反函數;奇函數如果有反函數,其反函數也是奇函數;原函數與其反函數在他們各自的定義域上單調性相同;他們的圖像是關於y=x對稱的。
一般來說,設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等於x,這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數,記作x=f-1(y) 。反函數x=f -1(y)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。
一般地,如果x與y關於某種對應關係f(x)相對應,y=f(x),則y=f(x)的反函數爲x=f-1(y)。存在反函數(默認爲單值函數)的條件是原函數必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)。注意:上標"−1"指的是函數冪,但不是指數冪。
原函數是指對於一個定義在某區間的已知函數f(x),如果存在可導函數F(x),使得在該區間內的任一點都存在dF(x)=f(x)dx,則在該區間內就稱函數F(x)爲函數f(x)的原函數。例如:sinx是cosx的原函數。
反函數與原函數關係:
1、函數的反函數,本身也是一個函數,由反函數的定義,原函數也是其反函數的反函數,故函數的原函數與反函數互稱爲反函數。
2、反函數的定義域與值域分別是原函數的值域與定義域。
3、只有確定函數的映射是一一映射的函數才存在反函數,由此得出下面4點:
(1)偶函數必無反函數。
(2)單調函數必有反函數。
(3)奇函數如果有反函數,其反函數也是奇函數。
(4)原函數與其反函數在他們各自的定義域上單調性相同。
4、互爲反函數的圖象間的關係。
函數y=f(x)的圖象和它的反函數y=f-1(x)的圖象關於直線y=x對稱,關於這一關係的理解要注意以下三點:
(1)函數y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關於直線y=x對稱,這個結論是在座標系中橫座標軸爲x軸,縱座標軸爲y軸,而且橫座標軸與縱座標軸的單位長度一致的前提下得出的;
(2)(a,b)在y=f(x)的圖象上<=>(b,a)在y=f-1(x)的圖象上;
(3)若y=f(x)存在反函數y=f-1(x),則函數y=f(x)的圖象關於直線y=x對稱的充分必要條件爲f(x)=f-1(x),即原、反函數的解析式相同。
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