反三角函數圖像與性質是什麼?
反三角函數是反正弦arcsinx,反餘弦arccosx,反正切arctanx,反餘切arccotx,反正割arcsecx,反餘割arccscx這些函數的統稱,各自表示其反正弦、反餘弦、反正切、反餘切,反正割,反餘割爲x的角。
三角函數的反函數是個多值函數,因爲它並不滿足一個自變量對應一個函數值的要求,其圖像與其原函數關於函數 y=x 對稱。歐拉提出反三角函數的概念,並且首先使用了“arc+函數名”的形式表示反三角函數。
爲限制反三角函數爲單值函數,將反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2,將y作爲反正弦函數的主值,記爲y=arcsin x;相應地,反餘弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2
反正弦函數是正弦函數y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函數,叫做反正弦函數。記作arcsinx,表示一個正弦值爲x的角,該角的範圍在[-π/2,π/2]區間內。定義域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。
反餘弦函數是餘弦函數y=cos x在[0,π]上的反函數,叫做反餘弦函數。記作arccosx,表示一個餘弦值爲x的角,該角的範圍在[0,π]區間內。定義域[-1,1] , 值域[0,π]。
反正切函數是正切函數y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函數,叫做反正切函數。記作arctanx,表示一個正切值爲x的角,該角的範圍在(-π/2,π/2)區間內。定義域R,值域(-π/2,π/2)。
反餘切函數是餘切函數y=cot x在(0,π)上的反函數,叫做反餘切函數。記作arccotx,表示一個餘切值爲x的角,該角的範圍在(0,π)區間內。定義域R,值域(0,π)。
餘角關係公式
arcsin(x)+arccos(x)=π/2
arctan(x)+arccot(x)=π/2
arcsec(x)+arccsc(x)=π/2
負數關係公式
arcsin(-x)=-arcsin(x)
arccos(-x)=π-arccos(x)
arctan(-x)=-arctan(x)
arccot(-x)=π-arccot(x)
arcsec(-x)=π-arcsec(x)
arcsec(-x)=-arcsec(x)
倒數關係公式
arcsin(1/x)=arccsc(x)
arccos(1/x)=arcsec(x)
arctan(1/x)=arccot(x)=π/2-arctan(x)(x>0)
arccot(1/x)=arccot(x)=π/2-arccot(x)(x>0)
arccot(1/x)=arctan(x)+π=3π/2-arccot(x)(x<0)
arcsec(1/x)=arccos(x)
arccsc(1/x)=arcsin(x)
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