對稱有哪些種類?
本文介紹一下抽象對稱的概念。
我們瞭解的常規對稱,主要包括兩類:
軸對稱和中心對稱。
而抽象對稱,顯得比較難以理解。
常規對稱
(01)我試圖透過對常規對稱的解釋,來抽象出抽象對稱。如下圖,綠色三角形和藍色三角形關於直線對稱;但是任何一個三角形都不是對稱圖案;這兩個三角形的整體,纔是一個對稱圖形,因爲它關於直線的對稱圖形是它自身。
(02)中心對稱:藍色三角形和紅色三角形關於綠色點呈中心對稱;倆三角形的整體就是一個對稱圖案,因爲這個圖形繞綠色點旋轉180°,得到的還是它自身。
抽象對稱
(01)旋轉對稱:圓是一個旋轉對稱圖形,因爲圓繞圓心旋轉任意角度,得到的都是它自身。
(02)旋轉對稱:如下圖,紅色三角形繞綠色點旋轉60°,得到藍色三角形,再旋轉60°,得到紫色三角形。這三個三角形組成一個對稱圖形,而且是一個旋轉對稱圖形,因爲這個圖形繞綠色點旋轉60°,得到的圖形還是它自身。但是注意,這個過程中,三個三角形沒有不動點;唯一的不動點就是綠色點,不在三角形上面。從這個意義上,說明任意正n變形都是旋轉對稱圖形。
(03)平移對稱——假設平移向量不是零向量,那麼:任意有限大小的圖形都不可能是平移對稱的圖形,因爲a+1=a,a只能是無限大;直線沿着直線的方向平移,得到的還是這條直線,所以直線是平移對稱圖形。
(04)平移對稱:一個無限網格,平移一個之後,得到的還是這個網格。或者說,平移前後網格是重合的。
(05)關於圓的對稱:如下圖,綠色橢圓曲線關於圓的反演圖形是圖中的紫色曲線;綠色橢圓和紫色曲線可以視爲一個整體,這個整體圖形,就是一個對稱圖形,因爲這個圖形關於這個圓的反演變換,是它自身。
特別提示
本文所有的圖形,都是在網絡畫板裏面繪製完成的。
本文抽象除了抽象對稱的概念:經過某種幾何變換,圖形能夠映射到自身,那麼這個圖形就是對稱圖形。
抽象對稱是抽象代數的重要內容。
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