微分的定義及其與導數的關係

這個系列文章講解高等數學的基礎內容，注重學習方法的培養，對初學者不易理解的問題往往會不惜筆墨加以解釋，並配以一些例題，大多爲紮實基礎的常規性題目和幫助加深理解的概念辨析題，難度適中，其中包含一些考研數學中的經典題目。本系列文章適合作爲初學高等數學的課堂同步輔導，高數期末複習以及考研第一輪複習時的參考資料。既然是入門，就要捨去一些難度較大或不適合初學者的內容（例如用ε-δ語言證明極限，以及教材中多數定理的證明），有些較深入的問題（例如無窮大與無界的區別和聯繫，導函數的特性，拉格朗日中值定理的證明思路等）我們會以專題文章的形式給出，供有興趣的讀者選讀。

操作方法

（01）從導數到微分。

（02）微分的定義。

（03）根據定義驗證函數可微性的例子。

（04）微分與導數的關係。

（05）函數在某點處“可微、可導、連續、極限存在”之間的聯繫。

（06）與微分相關的一些概念和結論：線性主部概念。

（07）與微分相關的一些概念和結論：函數的微分。

（08）拓展閱讀：可微與可導等價性的再討論。在一元函數微分中，說函數在某點可導或可微的意義是完全相同的，既然這二者是等價的，爲什麼不“合二爲一”呢？部分原因在於微積分的發展中，這兩個概念是在不同背景下被提出的：在求曲線切線或變速運動的瞬時速度時提出導數概念，在類似近似計算的問題中提出微分概念。（利用微分可以把非線性函數的計算近似轉化爲線性函數的計算，達到“以直代曲”的目的。）因此這意義相同的兩個概念可以算是“歷史遺留問題”。數學家在提出這兩個概念時並不知道其等價性，它們分別在各自的應用領域內發揮着作用，只有在微積分學理論進一步完善時（微積分誕生之初作爲其基礎的極限理論還很不完善），才能證明二者的等價性。這就像在古時候，中國人和英國人分別知道“雞蛋”和“egg”這兩個詞是什麼意思，也分別在自己的國家內使用這兩個詞，但直到“中國人和英國人首次相遇”時，他們纔會明白雞蛋就是egg，egg就是雞蛋，即它們是“等價的”。