大學高等數學《極限》的總結

假如高等數學是棵樹木得話，那麼極限就是他的根，函數就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見這一章的重要性。首先對極限的總結如下。極限的保號性很重要就是說在一定區間內函數的正負與極限一致。

操作方法

（01）解決極限的方法如下　　1)等價無窮小的轉化，(只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分後極限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價於Ax等等。全部熟記。(x趨近無窮的時候還原成無窮小)　　2)洛必達法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)　　首先他的使用有嚴格的使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。(所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點數列極限的n當然是趨近於正無窮的不可能是負無窮!)必須是函數的導數要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導，直接用無疑是死路一條)必須是0比0無窮大比無窮大!當然還要注意分母不能爲0。

（02）泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正餘旋的加減的時候要特變注意!)e的x展開sina展開cos展開ln1+x展開對題目簡化有很好幫助

（03）面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法。取大頭原則最大項除分子分母!看上去複雜處理很簡單

（04）無窮小於有界函數的處理辦法　　面對複雜函數時候，尤其是正餘旋的複雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常複雜的函數可能只需要知道它的範圍結果就出來了!

（05）夾逼定理(主要對付的是數列極限!)這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

（06）兩個重要極限的應用。這兩個很重要!對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大無窮小都有對有對應的形式(第二個實際上是用於函數是1的無窮的形式)(當底數是1的時候要特別注意可能是用第二個重要極限)

（07）還有個方法，非常方便的方法。就是當趨近於無窮大時候，不同函數趨近於無窮的速度是不一樣的。x的x次方快於x!快於指數函數快於冪數函數快於對數函數(畫圖也能看出速率的快慢)。當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了

（08）換元法是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的。還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮轉化爲定積分。一般是從0到1的形式。單調有界的性質。對付遞推數列時候使用證明單調性。直接使用求導數的定義來求極限，(一般都是x趨近於0時候，在分子上f(x)加減某個值)加減f(x)的形式，看見了有特別注意)(當題目中告訴你F(0)=0時候f(0)導數=0的時候就是暗示你一定要用導數定義!)。