羅爾定理證明題中構造輔助函數的基本方法
這個系列文章講解高等數學的基礎內容,注重學習方法的培養,對初學者不易理解的問題往往會不惜筆墨加以解釋,並配以一些例題,大多爲紮實基礎的常規性題目和幫助加深理解的概念辨析題,難度適中,其中包含一些考研數學中的經典題目。本系列文章適合作爲初學高等數學的課堂同步輔導,高數期末複習以及考研第一輪複習時的參考資料。既然是入門,就要捨去一些難度較大或不適合初學者的內容(例如用ε-δ語言證明極限,以及教材中多數定理的證明),有些較深入的問題(例如無窮大與無界的區別和聯繫,拉格朗日中值定理的證明思路等)我們會以專題文章的形式給出,供有興趣的讀者選讀。
操作方法
(01)概述。羅爾定理雖是微分中值定理中最基礎的一個,但其應用相當廣泛,許多涉及中值定理的證明題都可以用羅爾定理解決。中值定理證明題的普遍難點在於輔助函數的構造。(甚至可以說這是唯一難點,如果告訴你用什麼輔助函數,就差不多等於告訴你答案了。)輔助函數的構造法雖千差萬別,但也不是毫無規律可循。“條件變形”和“原函數法”是解羅爾定理證明題時兩種構造輔助函數的常用方法,本節我們透過幾個例題具體介紹。(“條件變形”能解決的題目通常比較容易,我們重點介紹“原函數法”。)
(02)用條件變形構造輔助函數的例題。
(03)“原函數法”的基本思路。
(04)利用原函數法構造輔助函數的例題。
(05)構造兩個函數乘積形式的輔助函數。
(06)一個難度較大的考研題。下面例題是1995年數一考題,難度較大,我們着重談談解題思路,證明細節請讀者自己補全。
(07)習題。
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