如何求兩個數的最小公倍數
倍數是一個數乘以整數得到的結果。一組數字的最小公倍數(簡稱爲LCM)是這組數共有倍數中最小的一個數。要找出最小公倍數,你需要先確定各個數字的因數。求解最小公倍數的方法有很多。本文介紹的方法適用於求兩個和更多數字的最小公倍數。
列出數字的所有倍數
(01)評估你要計算的數字。這個方法最適用於計算兩個小於10的數字的公倍數,如果你面對的是比較大或比較多的數字,最好使用其它方法。例如,我們需要找到5和8的最小公倍數。由於這兩個數字都比較小,適合使用這個方法求出它們的最小公倍數。
(02)從小到大列出第一個數字的幾個倍數。用第一個數字乘以不同的整數就能得到它的倍數。也就是說,你可以直接檢視乘法表,找到一個數的倍數。例如,第一個數字5的倍數有5、10、15、20、25、30、35和40。
(03)從小到大寫下第二個數字的幾個倍數。用相同的整數乘以第二個數字,得到幾個倍數,來和之前的一組倍數進行比較。在我們的示例中,數字8的倍數有8、16、24、32、40、48、56和64。
(04)比較兩個數字的倍數,找到其中最小的相同倍數。你可能需要列出更多倍數,來找到相同的那個倍數。你能找到的最小的相同數字就是最小公倍數。例如,5和8的倍數裏都有40,而且它是最小的相同倍數,所以40是5和8的最小公倍數。
使用素因式分解法
(01)評估數字。這個方法最適用於計算兩個大於10的數字的公倍數,如果你面對的是比較小的數字,最好使用其它方法快速求出最小公倍數。例如,如果你要找出數字20和84的最小公倍數,你可以使用這種方法。
(02)將第一個數字進行因式分解。你可以將第一個數字因式分解成它的素數因數,得到的幾個素數因數相乘,就能夠得到原始數字。你可以畫出因子樹來將數字分解成素數。完成因式分解後,重新寫出等式。等式的一邊是被分解的數字,另一邊是素數因數相乘。例如,,,因此,20的素數因數有2、2、和5。重新寫出等式,得到。
(03)將第二個數字也進行因式分解。用相同的方式分解第二個數字,找到它的素數因數,各個素數因數相乘能夠得到第二個數字。例如,,, 以及。因此,84的素數因數有2、7、3和2。 重新寫出等式,得到。
(04)寫下每個相同的素數因數,並將每個因數相乘,寫成乘法等式。在你寫下每個因數的同時,請在因式分解的等式中劃掉對應的數值。例如,兩個數字擁有共同的因數2,因此,寫下因數,並將每個因式中的2劃掉。兩個數字還擁有另一個2作爲共同的因數,因此,再寫下第二個數字2,並寫成兩數相乘:,然後劃掉因式分解式子裏的另一個2。
(05)將剩餘的因數添加到乘法式子中。剩餘的因數是指劃掉公因數後,幾個因式分解的等式中沒有被劃掉的因數。也就是兩個數字的因數中不相同的那些。例如,在等式中,兩個2是兩個數字共同的因數,因此你會劃掉兩個2。還剩下一個5,將5添加到上面的乘法式子中,得到:。在等式中,你也劃掉了兩個2,還剩下了7和3,將這兩個數字也加到乘式中,變成:。
(06)計算最小公倍數。將上面寫下的所有因數相乘,得到最小公倍數。在我們的例子中,。因此,20和84的最小公倍數是420。
使用網格法或梯形法
(01)畫一個井字形的網格。井字形的網格由兩組平行線交叉組成,兩組平行線彼此相互垂直,形成三行三列的網格,看上去像是手機或鍵盤上的井字鍵(#)。在網格最上方中央的方格內寫下你的第一個數字,在網格右上角的方格內寫下第二個數字。例如,如果你想找到數字18和30的最小公倍數,請將18寫在最上方中央的方格內,在網格右上角的方格寫下30。
(02)找到兩個數字共有的因數。將這個數字寫在網格左上角的方格內。最好使用素數因數,這會大大方便後續的計算,但是也不是必須的。在求解18和30的最小公倍數例題中,由於18和30都是偶數,所以都能整除2,將2寫在網格左上角的方格內。
(03)用例題中的兩個數除以共同的因數。將除得的商寫在每個數字下面的方格中。進行除法計算就能得到商。例如,,在數字18下面寫下9。,在網格中30下面的格子裏寫下15。
(04)找到兩個商的公因數。如果兩個商沒有公因數,可以跳過這一步直接進入下一步。如果它們有公因數,請寫在網格中央偏左的格子裏。例如,9和15的公因數爲3,所以將3寫在網格中央偏左的格子裏。
(05)用第一步得到的商除以新的公因數。將結果寫在上一步結果的下面。例如,,將3寫在9下方的方格內。,將5寫在15下方的方格內。
(06)如果需要的話,繼續擴展井字網格,畫得大一點。然後按照上面的步驟計算除法,直到兩個商沒有相同的因數爲止。
(07)在網格第一列和最後一行的數字上畫圈。圓圈連起來,就像是畫出了一個大寫的“L”字母。將圈出的所有數字相乘。在我們的例題中,2和3位於網格的第一列,3和5位於網格的最後一行,寫出數學式:。
(08)完成乘法計算。將所有因數相乘,得到的結果就是原來兩數的最小公倍數。例如:。因此,18和30的最小公倍數是90。
使用歐幾里德算法
(01)瞭解除法中的名詞。“被除數”是除法運算中被另一個數所除的數;“除數”是被除數除以的數字;“商”是除法的最後結果;“餘數”是整數被整除以後餘下的數字。例如,在方程:15 是被除數6 是除數2 是商3 是餘數。
(02)將方程改寫成“商-餘數”的形式。公式是被除數 = 除數 × 商 + 餘數。你需要用這個公式,根據歐幾里得算法求出兩個數字的最大公約數。例如,。最大公約數是兩個數字公有的最大除數或因子。使用本方法,你需要先求出最大公約數,然後透過它來找到最小公倍數。
(03)用兩個數字中較大的數字當被除數,使用較小的一個當除數。建立兩個數字的“商-餘數”方程。例如,如果你要求210和45的最小公倍數,那麼方程的形式是。
(04)使用原除數作爲新的被除數,使用餘數作爲新的除數。建立兩個數字的“商-餘數”方程。例如,。
(05)一直重複這個過程,直到最後的餘數變成0。每一個新方程中,你都需要使用原除數作爲新的被除數,使用餘數作爲新的除數。例如,。因爲,最後的餘數是0,所以你不需要再繼續除下去了。
(06)找到最後一個方程中的除數。這個數字就是兩個數字的最大公約數。例如,因爲最後一個方程中,除數是15,所以15就是210和45的最大公約數。
(07)求出兩個數字的乘積。用它們的乘積除以它們的最大公約數。最後的結果就是兩個數字的最小公倍數。例如,。用乘積除以最大公約數,得到。所以,630就是210和45的最小公倍數。
特別提示
如果你需要求多個數字的最小公倍數,那麼上述的方法需要稍作更改。例如,要找到16、20和32的最小公倍數,請先使用上述方法求出16和20的最小公倍數(80)。再求出80和32的最小公倍數,最後計算結果是160。
最小公倍數有很多用途。最常見的用途是,當你計算分數的加減法時,幾個分數的分母數字必須是相同的;如果分母不同,你需要將分子和分母同時乘以一個數,使得幾個分數的分母變成相同的數字。最好的辦法就是求出最小公分母(LCD),也就是分母的最小公倍數(LCM)。
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