怎樣用定義來驗證二元函數的極限是否正確?
在探究多元函數的極限之前,我們通常先研究一下二元函數的極限,然後再把這個規律推廣到多元函數。其中,用定義法來驗證多元函數的極限是最基本的方法,雖然以後我們還會接觸更多的方法,但還是要先學會最最基本的方法,這裏就以一道題目爲例給大家詳細詮釋此方法,希望對你有所幫助。
操作方法
01先看看下面這個題目,題目要求用定義來驗證這個二元函數的極限爲7,那我們只能用定義啦。定義是什麼呢?簡單的來說就是,A是一個確定實數,對任意小的正數ε,總存在某正數δ,使得屬於P。空心鄰域內的點P,總有/f(P)-A/<ε。我們稱A爲該函數的極限,就用這個方法來證明即可。
02接着選取鄰域,對於這到題目我們選擇方形鄰域而不是圓形鄰域,因爲圓形鄰域的表達式很複雜,和二元函數的表達式不好聯繫。
03這裏不妨先令δ=1,然後根據方形鄰域的形式對二元函數進行變形,具體如下。
04這裏需要用到三角不等式進行放縮,得到絕對值乘積式子。
05繼續將剩餘的式子和方形鄰域的表達式靠攏,化成相似的形式,結果如下。
06這樣再回到原來的絕對值下,很顯然,7×2δ<ε,這樣再取1和ε/14的最小值作爲δ即可滿足極限的定義。
07【總結】
這個基本定義的方法可能不會作爲考試的題型,但是其中的數學思維方法,作爲數學系的學生是必須要掌握的爲。
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