微分方程及其相應解法(一階篇)
微分方程的類型有很多種,解題時先判斷微分方程是哪種類型,可以幫助我們更快解題,所以我們有必要歸納整理一下各類型的微分方程及其相應解法。
操作方法
(01)1.可分離變量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx設g(y)及f(x)的原函數依次爲G(y)及F(x),則G(y)=F(x)+C爲微分方程的隱式通解
(02)2.齊次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x)令u=y/x則y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/[φ(u)-u]=dx/x兩端積分,得∫du/[φ(u)-u]=∫dx/x最後用y/x代替u,便得所給齊次方程的通解
(03)3.一階線性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)先令Q(x)=0則dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce-∫P(x)dx,再令y=ue-∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dxdx+C,所以y=e-∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]即y=Ce-∫P(x)dx+e-∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdx爲一階線性微分方程的通解
(04)4.可降階的高階微分方程解法①y(n)=f(x)型的微分方程y(n)=f(x)y(n-1)= ∫f(x)dx+C1y(n-2)= ∫[∫f(x)dx+C1]dx+C2依次類推,接連積分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n個任意常數的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程令y’=p則y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2③y”=f(y,y’) 型的微分方程令y’=p則y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1)即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2
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