天元術是誰發明的?
李冶和朱世傑
1248年,金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》,以及元代數學家朱世傑的《算學啓蒙下卷》《四元玉鑑》,都系統地介紹了用天元術建立二次方程。
天元術是利用未知數列方程的一般方法,與現代代數學中列方程的方法基本一致,但寫法不同。它首先要“立天元一爲某某”,相當於“設x 爲某某”,再根據問題給出的條件列出兩個相等的代數式。然後,透過類似合併同類項的過程,得出一個一端爲零的方程。天元術的表示方法不完全一致,按照李冶的記法,方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可寫成如下形式:其中a0,a1,.,an 表示方程各項係數,均爲籌算數碼,在常數項旁邊記一“太”字(或在一次項旁邊記一“元”字),“太”或“元”向上每層減少一次冪,向下每層增加一次冪。方程列出後,再按增乘開方法求正實根。
據史籍記載,金、元之際已有一批有關天元術的著作,如蔣周《益古演段》、李文一《照膽》、石信道《鈐經》、劉汝鍇《如積釋鎖》等(朱世傑《四元玉鑑》祖頤後序),可惜都已失傳。但在稍晚的李冶和朱世傑的著作中,都對天元術作了清楚的闡述。
李冶(1192—1279),真定欒城(今河北欒城縣)人。生於大興府(今北京市)。曾爲金代詞賦科進士,鈞州(今河南禹州市)知州,元翰林學士知制誥同修國史。晚年隱居於河北元氏縣封龍山下,收徒講學並勤於著述,與元好問、張德輝交往密切,時人尊稱“龍山三老”。他在數學專著《測圓海鏡》(12 卷)中透過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運算法則,以及文字元號表示法等,使天元術發展到相當成熟的新階段。《益古演段》(3 卷)則是他爲天元術初學者所寫的一部簡明易曉的入門書。
朱世傑,字漢卿,號鬆庭,生平不詳。所著《算學啓蒙》3 卷,內容包括常用數據、度量衡和田畝面積單位的換算、算四則運算法則、籌算簡法、分數、比例、面積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等,是一部較全面的數學啓蒙書籍。《數學啓蒙》曾傳入朝鮮和日本,產生了一定的影響。
天元術的出現,提供了列方程的統一方法,其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。而在歐洲,只是到了十六世紀才做到這一點。此外,宋代創立的增乘開方法又簡化了求解數學高次方程正根的運算過程。因此,在這一時期,列方程和解方程都有了簡單明確的方法和程式,中國古典代數學發展到了比較完備的階段。
不僅如此,繼天元術之後,數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組,如李德載《兩儀羣英集臻》有天、地二元,劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等,最後又由朱世傑創立了四元術
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