橢圓的作圖問題:橢圓中心、對稱軸、焦點、切線
橢圓,是高中階段的同學們必須要接觸的最主要的幾何圖形。而與橢圓有關的尺規作圖問題,就顯得很重要。下面就介紹幾個主要的尺規作圖問題。
問題一
(01)第一個問題:給定橢圓,要求找出橢圓的中心。這個所謂的中心,就是橢圓的兩個焦點的中點。先介紹一個結論:橢圓的平行弦的中點之軌跡是一條直線,如圖。如此一來,就可以作出橢圓上有固定方向的切線。
(02)給定橢圓,這個時候給出的橢圓光溜溜的,看不出任何線索指向它的中心,這就需要用到上面那個結論。
(03)先在橢圓上構造兩對平行弦。
(04)分別連結每一對平行弦的中點爲直線,那麼兩條直線的交點就是橢圓的中心,記爲點。
問題二
(01)第二個問題:作橢圓的對稱軸和焦點。橢圓有兩條對稱軸,分別是長軸和短軸。上面,趁此機會,把橢圓的對稱軸和焦點也一起找出來。
(02)以橢圓的中心爲圓心作一個大小適度的圓,與橢圓交於四個點。這四個點圍成一個矩形,對角線交於點。那麼,對角線夾角的平分線,就是橢圓的對稱軸所在的直線。於是,橢圓的長軸和短軸也就做出來了。
(03)注意,下圖的方法是錯的。正確方法是:以短軸端點爲圓心、半長軸爲半徑作圓,與常州的兩個交點,就是橢圓的焦點。
問題三
(01)第三個問題:作點關於橢圓的切線。當點位於橢圓上的時候,可以利用橢圓的光反射特性來作圖。橢圓的光反射特性指的是:假設橢圓內表面是光滑的鏡面,那麼,從其中一個焦點發出的光線,經過橢圓的反射,將會會聚於另一個焦點。所以,點到兩個焦點的連線的夾角的外角平分線就是關於橢圓的切線。
(02)當X位於橢圓外面的時候,可以利用射影幾何學裏面的極點極線原理來做圖。這個東西的詳細內容,請移駕——《射影幾何學的正確入門方法》。作圖方法是:作點X關於橢圓的極線;那麼,這條極線與橢圓的兩個交點,就是X到橢圓的切線的切點。
特別提示
不建議使用直尺和圓規,可以使用幾何畫板或者z+z超級畫板,因爲這樣可以儲存成果,以便以後使用或修改。
用幾何畫板(或z+z超級畫板)做出的圖要及時儲存。
用幾何畫板(或z+z超級畫板)怎麼畫橢圓?請大家自己思考。
真心不知道,審覈的人是什麼學歷,居然說我的過於簡單。不知道他們是看着太簡單,還是說根本看不懂。
弄這些動態圖,你以爲容易嗎?要用到好幾個軟件啊!
如果還用什麼不明白的,歡迎私信聯繫我。
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