線性方程租的解法(非齊次方程和齊次方程)
小編想以自己的來給大家講講常見的大學線代(線性方程的解法),分爲非齊次方程組合齊次方程組兩部分。
操作方法
(01)我們先了解什麼是齊次和非齊次:類似於:a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,1x1+am2x2+n=bm,(數字均爲下標)中,如果b1,b2,不全爲0,則該方程組爲非齊次方程,反之(全爲0)爲其次方程;
(02)1.判斷方程有沒有解:1)非齊次方程:充要條件:係數矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等;設係數矩陣的秩爲rA,增廣矩陣的秩爲rB,x階數爲n則有rA=rB=n時,方程組有唯一的解,當rA=rB<n時,方程有無窮解。
(03)現在我們來詳細討論(要求讀者自行掌握矩陣消元法):1)齊次方程解法:例如:(注意x後面的數字是角標)x1+x2-3x4-x5=0,x1-x2+2x3-x4=0,4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=0,2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=0我們先把係數提取出來記得x的角標對應着位置:x1+x2-3x4-x5=0提出後應該是:1 1 0(x3不存在,意味着係數爲0) -3 -1同理得其他係數:A=1 1 0 -3 -11 -1 2 -1 04 -2 6 3 -42 4 -2 4 -7變換過後可得1 1 0 -3 -10 2 -2 -2 -10 0 0 3 -10 0 0 0 0在根據該變換系數寫出對應的方程組x1+x2-3x4-x5=0(該處的x3係數爲0,不用寫出來)2x2-2x4-2x4-x5=0,3x4-x5=0這裏開始,要選參數進行解題(不要問爲什麼這樣,這是‘百年’來的成果總結的經驗= =)我們看到這三個方程組的第一個x項分別爲(x1,x2,x4),將它們作爲未知量,故選取x3,x5(非第一項的x項)爲參數,作爲參數的表面意思是將他們移到右邊。既有:x1+x2-3x4=x5'2x2-2x4=x5'+2x3'3x4=x5'(加 ' 的原因是區別於原來的x項,原來的x項是作爲未知量存在的)又到一個重點了(別問爲什麼,這樣解比較方便,前人總結的經驗,記住就好)
(04)2)非齊次方程組的解法:類似於上題,爲了節約你的眼睛資源,我就簡單說一下假設x1+x2-3x4-x5=a,x1-x2+2x3-x4=b,4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=c,2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=d
(05)即x1+x2-3x4-x5=A,2x2-2x3-2x4-x5=B,3x4-x5=C重點來了:與齊次方程不同,這裏要先求出特解,而特解一般保留的未知量是第一個x項數!!這裏即保留x1,x2,x4 (x3,x5設爲0)所以原方程可化爲x1+x2-3x4=A,2x2-2x4=B,3x4=C,
(06)還沒有完!!!這只是特解!還要求基礎解系在這裏我們要把右邊的數全部變爲0,即A=1 1 0 -3 -11 -1 2 -1 04 -2 6 3 -42 4 -2 4 -7就和齊次方程一樣了,不多說(和上題一樣的解法),我們可解得:X1=(-1,1,1,0,0),X2=(7/6, 5/6, 0, 1/3, 1)所以方程通解爲X=特解+基礎解系=(A+2/3C-1/2B, 1/3C+1/2B, 0, C, 0)+k1(-1,1,1,0,0)+k2(7/6, 5/6, 0, 1/3, 1)
特別提示
靜下心來才能解題,百變不離其中
多做題,多練是非常重要的哦
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