如何給二次方程式配方
對二次方程配方,可以讓其看起來更清楚,更容易解。你可以透過配方法,把一個很複雜的二次方程簡化,甚至可以把它解掉。想知道怎麼做?按下列的步驟來做吧。
把標準式化爲頂點式
(01)寫出方程式,如:3x2- 4x + 5
(02)把頭兩項都分解出首項的係數。你只要把3放在前面,括號括起來頭兩項,然後將兩者都處以3。 3x2除以 3是 x2, 4x 除以 3 是4/3x ,得到 3(x2- 4/3x) + 5 ,5沒有動,不用把它除以3。
(03)把中項係數除以二,然後求平方值。中項係數就是b, 即4/3,先除以2, 4/3 ÷ 2 或 4/3 x 1/2 等於2/3 ,然後讓這個數分子分母同平方,得到(2/3)2= 4/9
(04)在括號內加上再減去這個值。剩下的括號裏頭三項用來配成完全平方式。不過也要記得,你要從括號裏把其減掉。這裏不用把兩者合併,否則又要從頭開始。得到3( x2- 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5
(05)把減去的項從括號裏提出來。因爲你括號外有3,所以不能直接提出-4/9 ,而要讓其乘以3得到 -4/9 x 3 = -12/9,或 -4/3。如果你的首項 x2係數爲1,則跳過這幾步。
(06)把括號內的東西換成完全平方式。現在你剩下3(x2-4/3x +4/9) ,回去看到4/9,這是完全平方式內另一個關鍵的項,你可以得到 3(x - 2/3)2。你只要把第二項除以二,然後移掉第三項即可。你可以代個數進去試試看看滿不滿足。3(x - 2/3)2=3(x - 2/3)(x -2/3) =3[(x2-2/3x -2/3x + 4/9)]3(x2- 4/3x + 4/9)
(07)把常數項合併。這下你剩下兩個常數項了,或者說沒有變量的項。目前你剩下3(x - 2/3)2- 4/3 + 5 ,將-4/3 、5 加起來得11/3。你可以先通分爲 -4/3 、15/3 ,然後分子相加,得到11/3-4/3 + 15/3 = 11/3
(08)用頂點式寫出方程。完成了。最後得到 3(x - 2/3)2+ 11/3。你可以把所有項除以3,得到 (x - 2/3)2+ 11/9 ,現在你已經成功轉化爲頂點式了:a( x - h )2+ k,k是常數項。
解二次方程
(01)寫出方程。比如3x2+ 4x + 5 = 6
(02)把常數項合併,放在等號左邊。常數項就是沒有變量的項,目前左邊有5右邊有6,把6移過來,或者說兩邊同時減去6,右邊(6-6)是0,左邊(5-6)得到 -1,這樣得到 3x2+ 4x - 1 = 0
(03)把所有項除以首項係數。這裏3是首項 x2的係數,要提出 3 ,就把剩餘項除以3,即 3x2÷ 3 = x2, 4x ÷ 3 = 4/3x, 1 ÷ 3 = 1/3 ,得到 3(x2+ 4/3x - 1/3) = 0。
(04)把提出來的係數除掉。你可以把3扔掉了,現在得到x2+ 4/3x - 1/3 = 0
(05)把第二項係數除以2,得到其平方數。第二項係數 4/3也叫b項,找出其一半: 4/3 ÷ 2或 4/3 x 1/2 得到 4/6 ,或 2/3 求得平方爲4/9,然後左右都寫這項,因爲你本質上在加上一個新項,兩邊都放上,等式才能平衡。得到 x2+ 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
(06)把原常數項(變更符號)放在等式右邊,把它加到另一邊的項上。把原常數項 -1/3 移過去變爲1/3,加上 4/9,或 (2/3)2,把 1/3 、 4/9 通分, 1/3 x 3/3 = 3/9 , 3/9 加上4/9得到 7/9,因此x2+ 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 得到x2+ 4/3 x + 2/32 = 7/9。
(07)把等號左邊寫成一個完全平方式。因爲你已經用公式得出缺少的一項了,所以解決了難的部分了。現在你只要把x和中項係數的一半放在括號裏求平方即可:(x + 2/3)2,如果要分解就可以看到 x2+ 4/3 x + 4/9 。現在剩下的方程是(x + 2/3)2= 7/9
(08)兩邊同時求平方根。左邊(x + 2/3)2的平方根就是 x + 2/3,右邊則得到 +/- (√7)/3 ,9的平方根是 3 ,7 的平方根是 √7 ,要注意加+/-號,因爲有正負兩解。
(09)把變量分離。要分離x變量,只要把常數2/3 移右邊就行了。現在你有兩個解:x=+/- (√7)/3 - 2/3 ,這兩個解可以放着不動,或者算出7的平方根數來開啟根號。
特別提示
要注意把 +/-放在合適位置,否則只能得到一個解。
即使知道了二次方程式,也要定個時間多多練習配方法,你可以透過配方來驗證二次方程式,或者做一些題。這樣你在該記得的時候就不會忘記了。:)
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