探究定積分求橢圓面積-的新思想---圖形轉化思想
往往我們會使用定積分求解一些圖形的面積,但在求解過程中會遇到這樣那樣的問題,一些導函數很難看出它的原函數,當然換元法是一種很有效的辦法,可是我們中學階段所涉及的參數換元還很少,超出了教學大綱,我們就必須找到一種新的方法簡化我們的運算。這裏我們就來介紹一下圖形轉化。
操作方法
(01)關於橢圓和圓,我們觀察他們的圖形發現他們不是一個自變量對應一個函數值,所以想要利用定積分求面積就必須學會轉化成幾個部分求面積,比如中心在原點的橢圓,它在座標軸四個象限的面積是相同的,我們就可以轉化成求其中一個象限的面積。
(02)現在我們以:橢圓方程爲x^2/16+y^2/9=1,求橢圓面積爲例。來說明一下橢圓方程的轉化問題。
(03)接下來我們研究橢圓面積S橢圓,很顯然橢圓面積是對第一象限積分值的四倍。我們來化簡一下看有沒有什麼發現。
(04)關於這個積分,以我們目前學的知識無法看出它的原函數,所以求解又出現了阻礙,那麼有沒有方法轉化成我們學過的知識來求解呢?我們觀察這個式子積分的部分很熟悉,好像和圓有某種聯繫。
(05)圓心在原點,半徑爲4的圓的面積爲16π。它的四分之一爲4π。根據四分之一圓的面積可以求得橢圓的面積3×4π=12π。觀察橢圓方程發現長半軸a=4,b=3,這和麪積中的3和4,是巧合嗎?還是有一些聯繫?
(06)看積分部分,可以表示爲以原點爲圓心,以a爲半徑的圓的四分之一。接下來我們推推看一般橢圓的面積公式。
(07)這裏我們利用圖形轉化思想,將積分轉化成了圓面積的相關知識,不僅求得了橢圓的面積,還推理出了橢圓面積的一般表達式。這對我們以後的解題有很大的幫助。掌握這種思想會大大減少我們的計算,有事半功倍的作用。
特別提示
轉化時要細心,不要將圓的半徑搞錯。
計算積分時別將係數丟了。
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