極限的運算法則是什麼？

運算法則是：設{xn}爲一個無窮實數數列的集合。如果存在實數a，對於任意正數ε（不論其多麼小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恆成立，那麼就稱常數a是數列{xn} 的極限，或稱數列{xn} 收斂於a。

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念爲基礎、極限理論(包括級數)爲主要工具來研究函數的一門學科。所謂極限的思想，是指“用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想”。運算法則是：設{xn}爲一個無窮實數數列的集合。如果存在實數a，對於任意正數ε（不論其多麼小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恆成立，那麼就稱常數a是數列{xn} 的極限，或稱數列{xn} 收斂於a。

爲了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態的抽象定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂xn→x，就是指：“如果對任何ε>0，總存在自然數N，使得當n>N時，不等式|xn-x|<ε恆成立”。這個定義，藉助不等式，透過ε和N之間的關係，定量地、具體地刻劃了兩個“無限過程”之間的聯繫。因此，這樣的定義應該是目前比較嚴格的定義，可作爲科學論證的基礎，至今仍在數學分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是‘數及其大小關係’，此外只是用給定、存在、任何等詞語，已經擺脫了“趨近”一詞，不再求助於運動的直觀。（但是理解’極限‘概念不能夠拋棄‘運動趨勢’去理解， 否則容易導致’把常量概念不科學地進入到微積分’領域裏）

常量可理解爲‘不變化的量’。微積分問世以前，人們習慣於用靜態圖像研究數學對象，自從解析幾何和微積分問世以後，考慮‘變化量’的運動思維方式進入了數學領域，人們就有數學工具對物理量等等事物變化過程進行動態研究。之後，維爾斯特拉斯，建立的ε－N語言，則用靜態的定義描述變量的變化趨勢。這種“靜態——動態——靜態”的螺旋式的上升演變，反映了數學發展的辯證規律。

人們透過考察某些函數的一連串數不清的越來越精密的近似值的趨向，可以科學地把那個量的極準確值確定下來，這需要運用極限的概念和以上的極限思想方法。極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終。可以說數學分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數學分析著作中，都是先介紹函數理論和極限的思想方法，然後利用極限的思想方法給出連續函數、導數、定積分、級數的斂散性、多元函數的偏導數，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。