數論:歐拉函數的計算與性質(Mathematica)
使用Mathematica計算歐拉函數,驗證有關性質,包括素數的歐拉函數值,歐拉函數的積性性質,歐拉函數的一般計算方法。
操作方法
(01)性質1:當p爲素數時,p^n的歐拉函數值,等於(p-1)p^(n-1)。下面,我們舉例驗證。首先使用Prime函數產生10個素數,依次令n等於2,3,4,5,10計算歐拉函數。
(02)產生的10個素數爲第一行所示。下邊是對公式的驗證,可見數值都是一致的。
(03)下邊我們舉例簡要說明原因。p^n的質因子只有p。故與p^n不互素的只有p的倍數,即0,p,2p,3p...p^n-p。
(04)這些不互素的一共有p^n/p個。用完系中所有元素減去不互素的元素,剩下的元素就是縮系的元素。元素個數爲p^n-p^n/p=(p-1)p^(n-1)
(05)性質2:歐拉函數的極性。如圖,計算m*n的歐拉函數值,其中m和n互素。則EulerPhi[m*n]=EulerPhi[m]*EulerPhi[n]。如果m和n不互素則不成立。
(06)然後是一般情況下,歐拉函數的計算流程。其中用到了前兩個性質。把n質因數分解,然後把各個質因子帶入最終公式,計算歐拉函數值。證明過程如圖。
(07)如圖舉了一個實際的例子,計算EulerPhi[738]。把這個數質因子分解,質因子有2,3,41。把這三個數帶入最終公式,算得240。
特別提示
關於歐拉函數的含義以及完系和縮系的定義,請查閱引用。
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